Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68081 / 66271
↖ ↑ ↗
← S  2.018320°
E  6.990051°		 ← 305.24 m → S  2.018320°
E  6.992798°		 →
↑
305.23 m
↓
↑
305.23 m
↓
S  2.021065°
E  6.990051°		 ← 305.24 m →
93 169 m²		 S  2.021065°
E  6.992798°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66271 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519420623779297 y=0.505611419677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519420623779297 × 217)
    floor (0.519420623779297 × 131072)
    floor (68081.5)     		tx = 68081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.505611419677734 × 217)
    floor (0.505611419677734 × 131072)
    floor (66271.5)     		ty = 66271
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68081 / 66271 ti = "17/68081/66271"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68081/66271.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68081 ÷ 217
    68081 ÷ 131072     		x = 0.519416809082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66271 ÷ 217
    66271 ÷ 131072     		y = 0.505607604980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519416809082031 × 2 - 1) × π
    0.0388336181640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12199941
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.505607604980469 × 2 - 1) × π
    -0.0112152099609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0352336212207413
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12199941} λ = 0.12199941}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0352336212207413))-π/2
    2×atan(0.965379856690243)-π/2
    2×0.767784996598064-π/2
    1.53556999319613-1.57079632675     		φ = -0.03522633
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12199941} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.990051°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03522633 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.018320°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68081 KachelY 66271 0.12199941 -0.03522633 6.990051 -2.018320
    Oben rechts KachelX + 1 68082 KachelY 66271 0.12204735 -0.03522633 6.992798 -2.018320
    Unten links KachelX 68081 KachelY + 1 66272 0.12199941 -0.03527424 6.990051 -2.021065
    Unten rechts KachelX + 1 68082 KachelY + 1 66272 0.12204735 -0.03527424 6.992798 -2.021065
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03522633--0.03527424) × R
    4.79099999999982e-05 × 6371000     		dl = 305.234609999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03522633--0.03527424) × R
    4.79099999999982e-05 × 6371000     		dr = 305.234609999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12199941-0.12204735) × cos(-0.03522633) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999379616993825 × 6371000     		do = 305.236259061232m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12199941-0.12204735) × cos(-0.03527424) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999377928502404 × 6371000     		du = 305.23574335249m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03522633)-sin(-0.03527424))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999379616993825-0.999377928502404)×R²
    abs(0.12204735-0.12199941)×1.68849142179184e-06×R²
    4.79399999999963e-05×1.68849142179184e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.68849142179184e-06×40589641000000     		ar = 93168.5918041455m²