Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68078 / 66266
↖ ↑ ↗
← S  2.004596°
E  6.981812°		 ← 305.24 m → S  2.004596°
E  6.984558°		 →
↑
305.17 m
↓
↑
305.17 m
↓
S  2.007340°
E  6.981812°		 ← 305.24 m →
93 150 m²		 S  2.007340°
E  6.984558°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68078 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66266 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519397735595703 y=0.505573272705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519397735595703 × 217)
    floor (0.519397735595703 × 131072)
    floor (68078.5)     		tx = 68078
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.505573272705078 × 217)
    floor (0.505573272705078 × 131072)
    floor (66266.5)     		ty = 66266
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68078 / 66266 ti = "17/68078/66266"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68078/66266.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68078 ÷ 217
    68078 ÷ 131072     		x = 0.519393920898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66266 ÷ 217
    66266 ÷ 131072     		y = 0.505569458007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519393920898438 × 2 - 1) × π
    0.038787841796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12185560
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.505569458007812 × 2 - 1) × π
    -0.011138916015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.034993936722641
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12185560} λ = 0.12185560}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.034993936722641))-π/2
    2×atan(0.965611271008774)-π/2
    2×0.767904765003368-π/2
    1.53580953000674-1.57079632675     		φ = -0.03498680
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12185560} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.981812°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03498680 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.004596°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68078 KachelY 66266 0.12185560 -0.03498680 6.981812 -2.004596
    Oben rechts KachelX + 1 68079 KachelY 66266 0.12190354 -0.03498680 6.984558 -2.004596
    Unten links KachelX 68078 KachelY + 1 66267 0.12185560 -0.03503470 6.981812 -2.007340
    Unten rechts KachelX + 1 68079 KachelY + 1 66267 0.12190354 -0.03503470 6.984558 -2.007340
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03498680--0.03503470) × R
    4.79000000000035e-05 × 6371000     		dl = 305.170900000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03498680--0.03503470) × R
    4.79000000000035e-05 × 6371000     		dr = 305.170900000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12185560-0.12190354) × cos(-0.03498680) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.999388024342103 × 6371000     		do = 305.23882688189m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12185560-0.12190354) × cos(-0.03503470) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.999386347669758 × 6371000     		du = 305.238314782998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03498680)-sin(-0.03503470))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999388024342103-0.999386347669758)×R²
    abs(0.12190354-0.12185560)×1.67667234496349e-06×R²
    4.79400000000102e-05×1.67667234496349e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×1.67667234496349e-06×40589641000000     		ar = 93149.9293934684m²