Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68072 / 66151
↖ ↑ ↗
← S  1.688903°
E  6.965332°		 ← 305.23 m → S  1.688903°
E  6.968078°		 →
↑
305.30 m
↓
↑
305.30 m
↓
S  1.691649°
E  6.965332°		 ← 305.23 m →
93 186 m²		 S  1.691649°
E  6.968078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68072 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66151 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519351959228516 y=0.504695892333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519351959228516 × 217)
    floor (0.519351959228516 × 131072)
    floor (68072.5)     		tx = 68072
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.504695892333984 × 217)
    floor (0.504695892333984 × 131072)
    floor (66151.5)     		ty = 66151
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68072 / 66151 ti = "17/68072/66151"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68072/66151.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68072 ÷ 217
    68072 ÷ 131072     		x = 0.51934814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66151 ÷ 217
    66151 ÷ 131072     		y = 0.504692077636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51934814453125 × 2 - 1) × π
    0.0386962890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12156798
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.504692077636719 × 2 - 1) × π
    -0.0093841552734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0294811932663345
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12156798} λ = 0.12156798}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0294811932663345))-π/2
    2×atan(0.970949137851325)-π/2
    2×0.770659701575986-π/2
    1.54131940315197-1.57079632675     		φ = -0.02947692
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12156798} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.965332°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02947692 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.688903°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68072 KachelY 66151 0.12156798 -0.02947692 6.965332 -1.688903
    Oben rechts KachelX + 1 68073 KachelY 66151 0.12161591 -0.02947692 6.968078 -1.688903
    Unten links KachelX 68072 KachelY + 1 66152 0.12156798 -0.02952484 6.965332 -1.691649
    Unten rechts KachelX + 1 68073 KachelY + 1 66152 0.12161591 -0.02952484 6.968078 -1.691649
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02947692--0.02952484) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dl = 305.298319999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02947692--0.02952484) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dr = 305.298319999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12156798-0.12161591) × cos(-0.02947692) × R
    4.79299999999877e-05 × 0.999565587049736 × 6371000     		do = 305.229376779571m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12156798-0.12161591) × cos(-0.02952484) × R
    4.79299999999877e-05 × 0.999564173572613 × 6371000     		du = 305.228945157327m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02947692)-sin(-0.02952484))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999565587049736-0.999564173572613)×R²
    abs(0.12161591-0.12156798)×1.4134771233465e-06×R²
    4.79299999999877e-05×1.4134771233465e-06×6371000²
    4.79299999999877e-05×1.4134771233465e-06×40589641000000     		ar = 93185.9500765093m²