Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68065 / 66039
↖ ↑ ↗
← S  1.381397°
E  6.946106°		 ← 305.34 m → S  1.381397°
E  6.948853°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  1.384143°
E  6.946106°		 ← 305.34 m →
93 238 m²		 S  1.384143°
E  6.948853°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68065 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66039 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519298553466797 y=0.503841400146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519298553466797 × 217)
    floor (0.519298553466797 × 131072)
    floor (68065.5)     		tx = 68065
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503841400146484 × 217)
    floor (0.503841400146484 × 131072)
    floor (66039.5)     		ty = 66039
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68065 / 66039 ti = "17/68065/66039"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68065/66039.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68065 ÷ 217
    68065 ÷ 131072     		x = 0.519294738769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66039 ÷ 217
    66039 ÷ 131072     		y = 0.503837585449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519294738769531 × 2 - 1) × π
    0.0385894775390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12123242
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.503837585449219 × 2 - 1) × π
    -0.0076751708984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0241122605088882
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12123242} λ = 0.12123242}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0241122605088882))-π/2
    2×atan(0.976176117578864)-π/2
    2×0.773343201214474-π/2
    1.54668640242895-1.57079632675     		φ = -0.02410992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12123242} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.946106°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02410992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.381397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68065 KachelY 66039 0.12123242 -0.02410992 6.946106 -1.381397
    Oben rechts KachelX + 1 68066 KachelY 66039 0.12128036 -0.02410992 6.948853 -1.381397
    Unten links KachelX 68065 KachelY + 1 66040 0.12123242 -0.02415785 6.946106 -1.384143
    Unten rechts KachelX + 1 68066 KachelY + 1 66040 0.12128036 -0.02415785 6.948853 -1.384143
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02410992--0.02415785) × R
    4.79300000000016e-05 × 6371000     		dl = 305.36203000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02410992--0.02415785) × R
    4.79300000000016e-05 × 6371000     		dr = 305.36203000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12123242-0.12128036) × cos(-0.02410992) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.999709369957525 × 6371000     		do = 305.336974104276m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12123242-0.12128036) × cos(-0.02415785) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.999708213332703 × 6371000     		du = 305.336620841284m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02410992)-sin(-0.02415785))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999709369957525-0.999708213332703)×R²
    abs(0.12128036-0.12123242)×1.15662482202961e-06×R²
    4.79400000000102e-05×1.15662482202961e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×1.15662482202961e-06×40589641000000     		ar = 93238.264327843m²