Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68064 / 66267
↖ ↑ ↗
← S  2.007340°
E  6.943359°		 ← 305.24 m → S  2.007340°
E  6.946106°		 →
↑
305.23 m
↓
↑
305.23 m
↓
S  2.010085°
E  6.943359°		 ← 305.24 m →
93 169 m²		 S  2.010085°
E  6.946106°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68064 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66267 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519290924072266 y=0.505580902099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519290924072266 × 217)
    floor (0.519290924072266 × 131072)
    floor (68064.5)     		tx = 68064
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.505580902099609 × 217)
    floor (0.505580902099609 × 131072)
    floor (66267.5)     		ty = 66267
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68064 / 66267 ti = "17/68064/66267"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68064/66267.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68064 ÷ 217
    68064 ÷ 131072     		x = 0.519287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66267 ÷ 217
    66267 ÷ 131072     		y = 0.505577087402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519287109375 × 2 - 1) × π
    0.03857421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12118448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.505577087402344 × 2 - 1) × π
    -0.0111541748046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.035041873622261
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12118448} λ = 0.12118448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.035041873622261))-π/2
    2×atan(0.965564983707647)-π/2
    2×0.767880811241755-π/2
    1.53576162248351-1.57079632675     		φ = -0.03503470
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12118448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.943359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03503470 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.007340°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68064 KachelY 66267 0.12118448 -0.03503470 6.943359 -2.007340
    Oben rechts KachelX + 1 68065 KachelY 66267 0.12123242 -0.03503470 6.946106 -2.007340
    Unten links KachelX 68064 KachelY + 1 66268 0.12118448 -0.03508261 6.943359 -2.010085
    Unten rechts KachelX + 1 68065 KachelY + 1 66268 0.12123242 -0.03508261 6.946106 -2.010085
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03503470--0.03508261) × R
    4.79099999999982e-05 × 6371000     		dl = 305.234609999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03503470--0.03508261) × R
    4.79099999999982e-05 × 6371000     		dr = 305.234609999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12118448-0.12123242) × cos(-0.03503470) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999386347669758 × 6371000     		do = 305.23831478291m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12118448-0.12123242) × cos(-0.03508261) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999384668353657 × 6371000     		du = 305.237801876547m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03503470)-sin(-0.03508261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999386347669758-0.999384668353657)×R²
    abs(0.12123242-0.12118448)×1.67931610106642e-06×R²
    4.79399999999963e-05×1.67931610106642e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.67931610106642e-06×40589641000000     		ar = 93169.2197092473m²