Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68063 / 66285
↖ ↑ ↗
← S  2.056748°
E  6.940613°		 ← 305.17 m → S  2.056748°
E  6.943359°		 →
↑
305.17 m
↓
↑
305.17 m
↓
S  2.059493°
E  6.940613°		 ← 305.16 m →
93 127 m²		 S  2.059493°
E  6.943359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68063 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66285 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519283294677734 y=0.505718231201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519283294677734 × 217)
    floor (0.519283294677734 × 131072)
    floor (68063.5)     		tx = 68063
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.505718231201172 × 217)
    floor (0.505718231201172 × 131072)
    floor (66285.5)     		ty = 66285
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68063 / 66285 ti = "17/68063/66285"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68063/66285.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68063 ÷ 217
    68063 ÷ 131072     		x = 0.519279479980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66285 ÷ 217
    66285 ÷ 131072     		y = 0.505714416503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519279479980469 × 2 - 1) × π
    0.0385589599609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12113655
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.505714416503906 × 2 - 1) × π
    -0.0114288330078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0359047378154221
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12113655} λ = 0.12113655}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0359047378154221))-π/2
    2×atan(0.96473219160195)-π/2
    2×0.767449650463724-π/2
    1.53489930092745-1.57079632675     		φ = -0.03589703
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12113655} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.940613°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03589703 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.056748°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68063 KachelY 66285 0.12113655 -0.03589703 6.940613 -2.056748
    Oben rechts KachelX + 1 68064 KachelY 66285 0.12118448 -0.03589703 6.943359 -2.056748
    Unten links KachelX 68063 KachelY + 1 66286 0.12113655 -0.03594493 6.940613 -2.059493
    Unten rechts KachelX + 1 68064 KachelY + 1 66286 0.12118448 -0.03594493 6.943359 -2.059493
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03589703--0.03594493) × R
    4.78999999999966e-05 × 6371000     		dl = 305.170899999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03589703--0.03594493) × R
    4.78999999999966e-05 × 6371000     		dr = 305.170899999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12113655-0.12118448) × cos(-0.03589703) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999355770802352 × 6371000     		do = 305.165306864431m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12113655-0.12118448) × cos(-0.03594493) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999354050557409 × 6371000     		du = 305.164781566943m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03589703)-sin(-0.03594493))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999355770802352-0.999354050557409)×R²
    abs(0.12118448-0.12113655)×1.72024494260459e-06×R²
    4.79300000000016e-05×1.72024494260459e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.72024494260459e-06×40589641000000     		ar = 93127.4912096329m²