Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68063 / 66281
↖ ↑ ↗
← S  2.045769°
E  6.940613°		 ← 305.17 m → S  2.045769°
E  6.943359°		 →
↑
305.23 m
↓
↑
305.23 m
↓
S  2.048514°
E  6.940613°		 ← 305.17 m →
93 148 m²		 S  2.048514°
E  6.943359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68063 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66281 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519283294677734 y=0.505687713623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519283294677734 × 217)
    floor (0.519283294677734 × 131072)
    floor (68063.5)     		tx = 68063
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.505687713623047 × 217)
    floor (0.505687713623047 × 131072)
    floor (66281.5)     		ty = 66281
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68063 / 66281 ti = "17/68063/66281"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68063/66281.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68063 ÷ 217
    68063 ÷ 131072     		x = 0.519279479980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66281 ÷ 217
    66281 ÷ 131072     		y = 0.505683898925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519279479980469 × 2 - 1) × π
    0.0385589599609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12113655
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.505683898925781 × 2 - 1) × π
    -0.0113677978515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0357129902169418
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12113655} λ = 0.12113655}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0357129902169418))-π/2
    2×atan(0.964917194419223)-π/2
    2×0.767545462827366-π/2
    1.53509092565473-1.57079632675     		φ = -0.03570540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12113655} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.940613°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03570540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.045769°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68063 KachelY 66281 0.12113655 -0.03570540 6.940613 -2.045769
    Oben rechts KachelX + 1 68064 KachelY 66281 0.12118448 -0.03570540 6.943359 -2.045769
    Unten links KachelX 68063 KachelY + 1 66282 0.12113655 -0.03575331 6.940613 -2.048514
    Unten rechts KachelX + 1 68064 KachelY + 1 66282 0.12118448 -0.03575331 6.943359 -2.048514
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03570540--0.03575331) × R
    4.79100000000052e-05 × 6371000     		dl = 305.234610000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03570540--0.03575331) × R
    4.79100000000052e-05 × 6371000     		dr = 305.234610000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12113655-0.12118448) × cos(-0.03570540) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999362629923699 × 6371000     		do = 305.16740137965m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12113655-0.12118448) × cos(-0.03575331) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999360918494487 × 6371000     		du = 305.166878774151m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03570540)-sin(-0.03575331))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999362629923699-0.999360918494487)×R²
    abs(0.12118448-0.12113655)×1.71142921234768e-06×R²
    4.79300000000016e-05×1.71142921234768e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.71142921234768e-06×40589641000000     		ar = 93147.5730040186m²