Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68062 / 66282
↖ ↑ ↗
← S  2.048514°
E  6.937866°		 ← 305.23 m → S  2.048514°
E  6.940613°		 →
↑
305.17 m
↓
↑
305.17 m
↓
S  2.051258°
E  6.937866°		 ← 305.23 m →
93 147 m²		 S  2.051258°
E  6.940613°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68062 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66282 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519275665283203 y=0.505695343017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519275665283203 × 217)
    floor (0.519275665283203 × 131072)
    floor (68062.5)     		tx = 68062
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.505695343017578 × 217)
    floor (0.505695343017578 × 131072)
    floor (66282.5)     		ty = 66282
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68062 / 66282 ti = "17/68062/66282"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68062/66282.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68062 ÷ 217
    68062 ÷ 131072     		x = 0.519271850585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66282 ÷ 217
    66282 ÷ 131072     		y = 0.505691528320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519271850585938 × 2 - 1) × π
    0.038543701171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12108861
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.505691528320312 × 2 - 1) × π
    -0.011383056640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0357609271165619
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12108861} λ = 0.12108861}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0357609271165619))-π/2
    2×atan(0.964870940389179)-π/2
    2×0.767521509674834-π/2
    1.53504301934967-1.57079632675     		φ = -0.03575331
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12108861} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.937866°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03575331 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.048514°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68062 KachelY 66282 0.12108861 -0.03575331 6.937866 -2.048514
    Oben rechts KachelX + 1 68063 KachelY 66282 0.12113655 -0.03575331 6.940613 -2.048514
    Unten links KachelX 68062 KachelY + 1 66283 0.12108861 -0.03580121 6.937866 -2.051258
    Unten rechts KachelX + 1 68063 KachelY + 1 66283 0.12113655 -0.03580121 6.940613 -2.051258
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03575331--0.03580121) × R
    4.78999999999966e-05 × 6371000     		dl = 305.170899999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03575331--0.03580121) × R
    4.78999999999966e-05 × 6371000     		dr = 305.170899999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12108861-0.12113655) × cos(-0.03575331) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999360918494487 × 6371000     		do = 305.230548058235m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12108861-0.12113655) × cos(-0.03580121) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999359205129309 × 6371000     		du = 305.230024752408m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03575331)-sin(-0.03580121))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999360918494487-0.999359205129309)×R²
    abs(0.12113655-0.12108861)×1.71336517773568e-06×R²
    4.79399999999963e-05×1.71336517773568e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.71336517773568e-06×40589641000000     		ar = 93147.4012273704m²