Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68055 / 66278
↖ ↑ ↗
← S  2.037534°
E  6.918640°		 ← 305.23 m → S  2.037534°
E  6.921387°		 →
↑
305.23 m
↓
↑
305.23 m
↓
S  2.040279°
E  6.918640°		 ← 305.23 m →
93 167 m²		 S  2.040279°
E  6.921387°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68055 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66278 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519222259521484 y=0.505664825439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519222259521484 × 217)
    floor (0.519222259521484 × 131072)
    floor (68055.5)     		tx = 68055
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.505664825439453 × 217)
    floor (0.505664825439453 × 131072)
    floor (66278.5)     		ty = 66278
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68055 / 66278 ti = "17/68055/66278"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68055/66278.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68055 ÷ 217
    68055 ÷ 131072     		x = 0.519218444824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66278 ÷ 217
    66278 ÷ 131072     		y = 0.505661010742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519218444824219 × 2 - 1) × π
    0.0384368896484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12075305
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.505661010742188 × 2 - 1) × π
    -0.011322021484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0355691795180817
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12075305} λ = 0.12075305}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0355691795180817))-π/2
    2×atan(0.965055969813748)-π/2
    2×0.767617322530682-π/2
    1.53523464506136-1.57079632675     		φ = -0.03556168
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12075305} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.918640°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03556168 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.037534°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68055 KachelY 66278 0.12075305 -0.03556168 6.918640 -2.037534
    Oben rechts KachelX + 1 68056 KachelY 66278 0.12080099 -0.03556168 6.921387 -2.037534
    Unten links KachelX 68055 KachelY + 1 66279 0.12075305 -0.03560959 6.918640 -2.040279
    Unten rechts KachelX + 1 68056 KachelY + 1 66279 0.12080099 -0.03560959 6.921387 -2.040279
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03556168--0.03560959) × R
    4.79100000000052e-05 × 6371000     		dl = 305.234610000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03556168--0.03560959) × R
    4.79100000000052e-05 × 6371000     		dr = 305.234610000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12075305-0.12080099) × cos(-0.03556168) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999367750092348 × 6371000     		do = 305.232634604067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12075305-0.12080099) × cos(-0.03560959) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999366045544384 × 6371000     		du = 305.232113991244m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03556168)-sin(-0.03560959))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999367750092348-0.999366045544384)×R²
    abs(0.12080099-0.12075305)×1.70454796399877e-06×R²
    4.79399999999963e-05×1.70454796399877e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.70454796399877e-06×40589641000000     		ar = 93167.4847459426m²