Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68053 / 65867
↖ ↑ ↗
← S  0.909081°
E  6.913147°		 ← 305.32 m → S  0.909081°
E  6.915893°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  0.911827°
E  6.913147°		 ← 305.32 m →
93 234 m²		 S  0.911827°
E  6.915893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68053 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65867 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519207000732422 y=0.502529144287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519207000732422 × 217)
    floor (0.519207000732422 × 131072)
    floor (68053.5)     		tx = 68053
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.502529144287109 × 217)
    floor (0.502529144287109 × 131072)
    floor (65867.5)     		ty = 65867
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68053 / 65867 ti = "17/68053/65867"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68053/65867.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68053 ÷ 217
    68053 ÷ 131072     		x = 0.519203186035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65867 ÷ 217
    65867 ÷ 131072     		y = 0.502525329589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519203186035156 × 2 - 1) × π
    0.0384063720703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12065718
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.502525329589844 × 2 - 1) × π
    -0.0050506591796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0158671137742386
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12065718} λ = 0.12065718}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0158671137742386))-π/2
    2×atan(0.98425810571013)-π/2
    2×0.777464939388432-π/2
    1.55492987877686-1.57079632675     		φ = -0.01586645
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12065718} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.913147°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01586645 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.909081°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68053 KachelY 65867 0.12065718 -0.01586645 6.913147 -0.909081
    Oben rechts KachelX + 1 68054 KachelY 65867 0.12070511 -0.01586645 6.915893 -0.909081
    Unten links KachelX 68053 KachelY + 1 65868 0.12065718 -0.01591438 6.913147 -0.911827
    Unten rechts KachelX + 1 68054 KachelY + 1 65868 0.12070511 -0.01591438 6.915893 -0.911827
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01586645--0.01591438) × R
    4.79299999999981e-05 × 6371000     		dl = 305.362029999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01586645--0.01591438) × R
    4.79299999999981e-05 × 6371000     		dr = 305.362029999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12065718-0.12070511) × cos(-0.01586645) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999874130522808 × 6371000     		do = 305.32359424094m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12065718-0.12070511) × cos(-0.01591438) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.99987336892727 × 6371000     		du = 305.32336167858m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01586645)-sin(-0.01591438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999874130522808-0.99987336892727)×R²
    abs(0.12070511-0.12065718)×7.61595538745219e-07×R²
    4.79300000000016e-05×7.61595538745219e-07×6371000²
    4.79300000000016e-05×7.61595538745219e-07×40589641000000     		ar = 93234.1970542956m²