Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68043 / 65877
↖ ↑ ↗
← S  0.936542°
E  6.885681°		 ← 305.32 m → S  0.936542°
E  6.888427°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
S  0.939289°
E  6.885681°		 ← 305.32 m →
93 253 m²		 S  0.939289°
E  6.888427°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68043 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65877 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519130706787109 y=0.502605438232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519130706787109 × 217)
    floor (0.519130706787109 × 131072)
    floor (68043.5)     		tx = 68043
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.502605438232422 × 217)
    floor (0.502605438232422 × 131072)
    floor (65877.5)     		ty = 65877
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68043 / 65877 ti = "17/68043/65877"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68043/65877.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68043 ÷ 217
    68043 ÷ 131072     		x = 0.519126892089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65877 ÷ 217
    65877 ÷ 131072     		y = 0.502601623535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519126892089844 × 2 - 1) × π
    0.0382537841796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12017781
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.502601623535156 × 2 - 1) × π
    -0.0052032470703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0163464827704391
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12017781} λ = 0.12017781}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0163464827704391))-π/2
    2×atan(0.983786395960541)-π/2
    2×0.777225285979813-π/2
    1.55445057195963-1.57079632675     		φ = -0.01634575
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12017781} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.885681°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01634575 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.936542°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68043 KachelY 65877 0.12017781 -0.01634575 6.885681 -0.936542
    Oben rechts KachelX + 1 68044 KachelY 65877 0.12022574 -0.01634575 6.888427 -0.936542
    Unten links KachelX 68043 KachelY + 1 65878 0.12017781 -0.01639369 6.885681 -0.939289
    Unten rechts KachelX + 1 68044 KachelY + 1 65878 0.12022574 -0.01639369 6.888427 -0.939289
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01634575--0.01639369) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.425739999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01634575--0.01639369) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.425739999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12017781-0.12022574) × cos(-0.01634575) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999866411202903 × 6371000     		do = 305.321237053743m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12017781-0.12022574) × cos(-0.01639369) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999865626473574 × 6371000     		du = 305.320997427202m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01634575)-sin(-0.01639369))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999866411202903-0.999865626473574)×R²
    abs(0.12022574-0.12017781)×7.84729328628941e-07×R²
    4.79300000000016e-05×7.84729328628941e-07×6371000²
    4.79300000000016e-05×7.84729328628941e-07×40589641000000     		ar = 93252.9281886564m²