Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68042 / 65874
↖ ↑ ↗
← S  0.928304°
E  6.882935°		 ← 305.39 m → S  0.928304°
E  6.885681°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  0.931050°
E  6.882935°		 ← 305.39 m →
93 253 m²		 S  0.931050°
E  6.885681°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68042 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65874 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519123077392578 y=0.502582550048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519123077392578 × 217)
    floor (0.519123077392578 × 131072)
    floor (68042.5)     		tx = 68042
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.502582550048828 × 217)
    floor (0.502582550048828 × 131072)
    floor (65874.5)     		ty = 65874
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68042 / 65874 ti = "17/68042/65874"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68042/65874.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68042 ÷ 217
    68042 ÷ 131072     		x = 0.519119262695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65874 ÷ 217
    65874 ÷ 131072     		y = 0.502578735351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519119262695312 × 2 - 1) × π
    0.038238525390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12012987
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.502578735351562 × 2 - 1) × π
    -0.005157470703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.016202672071579
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12012987} λ = 0.12012987}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.016202672071579))-π/2
    2×atan(0.983927885143258)-π/2
    2×0.77729718180774-π/2
    1.55459436361548-1.57079632675     		φ = -0.01620196
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12012987} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.882935°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01620196 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.928304°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68042 KachelY 65874 0.12012987 -0.01620196 6.882935 -0.928304
    Oben rechts KachelX + 1 68043 KachelY 65874 0.12017781 -0.01620196 6.885681 -0.928304
    Unten links KachelX 68042 KachelY + 1 65875 0.12012987 -0.01624989 6.882935 -0.931050
    Unten rechts KachelX + 1 68043 KachelY + 1 65875 0.12017781 -0.01624989 6.885681 -0.931050
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01620196--0.01624989) × R
    4.79299999999981e-05 × 6371000     		dl = 305.362029999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01620196--0.01624989) × R
    4.79299999999981e-05 × 6371000     		dr = 305.362029999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12012987-0.12017781) × cos(-0.01620196) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999868751117225 × 6371000     		do = 305.385653212831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12012987-0.12017781) × cos(-0.01624989) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999867973442765 × 6371000     		du = 305.385415691033m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01620196)-sin(-0.01624989))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999868751117225-0.999867973442765)×R²
    abs(0.12017781-0.12012987)×7.77674459606637e-07×R²
    4.79399999999963e-05×7.77674459606637e-07×6371000²
    4.79399999999963e-05×7.77674459606637e-07×40589641000000     		ar = 93253.1467507249m²