Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68036 / 65220
↖ ↑ ↗
← N  0.867887°
E  6.866455°		 ← 305.39 m → N  0.867887°
E  6.869202°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
N  0.865140°
E  6.866455°		 ← 305.39 m →
93 255 m²		 N  0.865140°
E  6.869202°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68036 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65220 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519077301025391 y=0.497592926025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519077301025391 × 217)
    floor (0.519077301025391 × 131072)
    floor (68036.5)     		tx = 68036
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.497592926025391 × 217)
    floor (0.497592926025391 × 131072)
    floor (65220.5)     		ty = 65220
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68036 / 65220 ti = "17/68036/65220"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68036/65220.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68036 ÷ 217
    68036 ÷ 131072     		x = 0.519073486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65220 ÷ 217
    65220 ÷ 131072     		y = 0.497589111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519073486328125 × 2 - 1) × π
    0.03814697265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11984225
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.497589111328125 × 2 - 1) × π
    0.00482177734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0151480602799377
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11984225} λ = 0.11984225}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0151480602799377))-π/2
    2×atan(1.01526337366736)-π/2
    2×0.792971903893165-π/2
    1.58594380778633-1.57079632675     		φ = 0.01514748
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11984225} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.866455°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.01514748 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.867887°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68036 KachelY 65220 0.11984225 0.01514748 6.866455 0.867887
    Oben rechts KachelX + 1 68037 KachelY 65220 0.11989019 0.01514748 6.869202 0.867887
    Unten links KachelX 68036 KachelY + 1 65221 0.11984225 0.01509955 6.866455 0.865140
    Unten rechts KachelX + 1 68037 KachelY + 1 65221 0.11989019 0.01509955 6.869202 0.865140
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.01514748-0.01509955) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.362029999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.01514748-0.01509955) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.362029999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11984225-0.11989019) × cos(0.01514748) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999885279118372 × 6371000     		do = 305.390701289812m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11984225-0.11989019) × cos(0.01509955) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999886003960814 × 6371000     		du = 305.390922675351m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.01514748)-sin(0.01509955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999885279118372-0.999886003960814)×R²
    abs(0.11989019-0.11984225)×7.24842442068052e-07×R²
    4.79399999999963e-05×7.24842442068052e-07×6371000²
    4.79399999999963e-05×7.24842442068052e-07×40589641000000     		ar = 93254.7583081996m²