Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68018 / 66200
↖ ↑ ↗
← S  1.823423°
E  6.817016°		 ← 305.27 m → S  1.823423°
E  6.819763°		 →
↑
305.23 m
↓
↑
305.23 m
↓
S  1.826168°
E  6.817016°		 ← 305.27 m →
93 179 m²		 S  1.826168°
E  6.819763°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68018 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518939971923828 y=0.505069732666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518939971923828 × 217)
    floor (0.518939971923828 × 131072)
    floor (68018.5)     		tx = 68018
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.505069732666016 × 217)
    floor (0.505069732666016 × 131072)
    floor (66200.5)     		ty = 66200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68018 / 66200 ti = "17/68018/66200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68018/66200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68018 ÷ 217
    68018 ÷ 131072     		x = 0.518936157226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66200 ÷ 217
    66200 ÷ 131072     		y = 0.50506591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518936157226562 × 2 - 1) × π
    0.037872314453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11897938
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50506591796875 × 2 - 1) × π
    -0.0101318359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0318301013477173
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11897938} λ = 0.11897938}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0318301013477173))-π/2
    2×atan(0.96867114402125)-π/2
    2×0.769485799446228-π/2
    1.53897159889246-1.57079632675     		φ = -0.03182473
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11897938} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.817016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03182473 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.823423°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68018 KachelY 66200 0.11897938 -0.03182473 6.817016 -1.823423
    Oben rechts KachelX + 1 68019 KachelY 66200 0.11902732 -0.03182473 6.819763 -1.823423
    Unten links KachelX 68018 KachelY + 1 66201 0.11897938 -0.03187264 6.817016 -1.826168
    Unten rechts KachelX + 1 68019 KachelY + 1 66201 0.11902732 -0.03187264 6.819763 -1.826168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03182473--0.03187264) × R
    4.79099999999982e-05 × 6371000     		dl = 305.234609999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03182473--0.03187264) × R
    4.79099999999982e-05 × 6371000     		dr = 305.234609999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11897938-0.11902732) × cos(-0.03182473) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.999493636020065 × 6371000     		do = 305.271083406784m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11897938-0.11902732) × cos(-0.03187264) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.999492110407512 × 6371000     		du = 305.270617445441m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03182473)-sin(-0.03187264))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999493636020065-0.999492110407512)×R²
    abs(0.11902732-0.11897938)×1.52561255306605e-06×R²
    4.79400000000102e-05×1.52561255306605e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×1.52561255306605e-06×40589641000000     		ar = 93179.2289919997m²