Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 67934 / 67937
↖ ↑ ↗
← S  6.580032°
E  6.586304°		 ← 303.35 m → S  6.580032°
E  6.589050°		 →
↑
303.39 m
↓
↑
303.39 m
↓
S  6.582760°
E  6.586304°		 ← 303.35 m →
92 032 m²		 S  6.582760°
E  6.589050°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67934 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 67937 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518299102783203 y=0.518321990966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518299102783203 × 217)
    floor (0.518299102783203 × 131072)
    floor (67934.5)     		tx = 67934
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.518321990966797 × 217)
    floor (0.518321990966797 × 131072)
    floor (67937.5)     		ty = 67937
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67934 / 67937 ti = "17/67934/67937"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67934/67937.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67934 ÷ 217
    67934 ÷ 131072     		x = 0.518295288085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 67937 ÷ 217
    67937 ÷ 131072     		y = 0.518318176269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518295288085938 × 2 - 1) × π
    0.036590576171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11495269
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.518318176269531 × 2 - 1) × π
    -0.0366363525390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.115096495987755
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11495269} λ = 0.11495269}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.115096495987755))-π/2
    2×atan(0.891280134800157)-π/2
    2×0.727976555113279-π/2
    1.45595311022656-1.57079632675     		φ = -0.11484322
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11495269} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.586304°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.11484322 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.580032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67934 KachelY 67937 0.11495269 -0.11484322 6.586304 -6.580032
    Oben rechts KachelX + 1 67935 KachelY 67937 0.11500062 -0.11484322 6.589050 -6.580032
    Unten links KachelX 67934 KachelY + 1 67938 0.11495269 -0.11489084 6.586304 -6.582760
    Unten rechts KachelX + 1 67935 KachelY + 1 67938 0.11500062 -0.11489084 6.589050 -6.582760
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.11484322--0.11489084) × R
    4.76199999999982e-05 × 6371000     		dl = 303.387019999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.11484322--0.11489084) × R
    4.76199999999982e-05 × 6371000     		dr = 303.387019999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11495269-0.11500062) × cos(-0.11484322) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.993412762091142 × 6371000     		do = 303.350537660068m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11495269-0.11500062) × cos(-0.11489084) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.993407304144097 × 6371000     		du = 303.348871010279m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.11484322)-sin(-0.11489084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993412762091142-0.993407304144097)×R²
    abs(0.11500062-0.11495269)×5.45794704553959e-06×R²
    4.79300000000016e-05×5.45794704553959e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×5.45794704553959e-06×40589641000000     		ar = 92032.3628335364m²