Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67922 / 43766
↖ ↑ ↗
← N 51.196558°
E  6.553345°		 ← 191.40 m → N 51.196558°
E  6.556091°		 →
↑
191.38 m
↓
↑
191.38 m
↓
N 51.194837°
E  6.553345°		 ← 191.40 m →
36 631 m²		 N 51.194837°
E  6.556091°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67922 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43766 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518207550048828 y=0.333911895751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518207550048828 × 217)
    floor (0.518207550048828 × 131072)
    floor (67922.5)     		tx = 67922
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333911895751953 × 217)
    floor (0.333911895751953 × 131072)
    floor (43766.5)     		ty = 43766
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67922 / 43766 ti = "17/67922/43766"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67922/43766.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67922 ÷ 217
    67922 ÷ 131072     		x = 0.518203735351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43766 ÷ 217
    43766 ÷ 131072     		y = 0.333908081054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518203735351562 × 2 - 1) × π
    0.036407470703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11437744
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333908081054688 × 2 - 1) × π
    0.332183837890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.04358630472862
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11437744} λ = 0.11437744}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04358630472862))-π/2
    2×atan(2.83938166458056)-π/2
    2×1.23217241188478-π/2
    2.46434482376957-1.57079632675     		φ = 0.89354850
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11437744} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.553345°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89354850 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.196558°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67922 KachelY 43766 0.11437744 0.89354850 6.553345 51.196558
    Oben rechts KachelX + 1 67923 KachelY 43766 0.11442538 0.89354850 6.556091 51.196558
    Unten links KachelX 67922 KachelY + 1 43767 0.11437744 0.89351846 6.553345 51.194837
    Unten rechts KachelX + 1 67923 KachelY + 1 43767 0.11442538 0.89351846 6.556091 51.194837
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89354850-0.89351846) × R
    3.00399999999534e-05 × 6371000     		dl = 191.384839999703m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89354850-0.89351846) × R
    3.00399999999534e-05 × 6371000     		dr = 191.384839999703m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11437744-0.11442538) × cos(0.89354850) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.626650630537009 × 6371000     		do = 191.395232553218m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11437744-0.11442538) × cos(0.89351846) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.626674040435844 × 6371000     		du = 191.402382538893m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89354850)-sin(0.89351846))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626650630537009-0.626674040435844)×R²
    abs(0.11442538-0.11437744)×2.34098988349807e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.34098988349807e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.34098988349807e-05×40589641000000     		ar = 36630.8301610121m²