Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67876 / 65956
↖ ↑ ↗
← S  1.153487°
E  6.427002°		 ← 305.30 m → S  1.153487°
E  6.429748°		 →
↑
305.30 m
↓
↑
305.30 m
↓
S  1.156232°
E  6.427002°		 ← 305.30 m →
93 208 m²		 S  1.156232°
E  6.429748°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67876 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65956 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517856597900391 y=0.503208160400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517856597900391 × 217)
    floor (0.517856597900391 × 131072)
    floor (67876.5)     		tx = 67876
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503208160400391 × 217)
    floor (0.503208160400391 × 131072)
    floor (65956.5)     		ty = 65956
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67876 / 65956 ti = "17/67876/65956"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67876/65956.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67876 ÷ 217
    67876 ÷ 131072     		x = 0.517852783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65956 ÷ 217
    65956 ÷ 131072     		y = 0.503204345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517852783203125 × 2 - 1) × π
    0.03570556640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11217235
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.503204345703125 × 2 - 1) × π
    -0.00640869140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0201334978404236
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11217235} λ = 0.11217235}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0201334978404236))-π/2
    2×atan(0.980067827634684)-π/2
    2×0.77533209451408-π/2
    1.55066418902816-1.57079632675     		φ = -0.02013214
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11217235} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.427002°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02013214 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.153487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67876 KachelY 65956 0.11217235 -0.02013214 6.427002 -1.153487
    Oben rechts KachelX + 1 67877 KachelY 65956 0.11222028 -0.02013214 6.429748 -1.153487
    Unten links KachelX 67876 KachelY + 1 65957 0.11217235 -0.02018006 6.427002 -1.156232
    Unten rechts KachelX + 1 67877 KachelY + 1 65957 0.11222028 -0.02018006 6.429748 -1.156232
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02013214--0.02018006) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dl = 305.298319999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02013214--0.02018006) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dr = 305.298319999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11217235-0.11222028) × cos(-0.02013214) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999797355314025 × 6371000     		do = 305.300150007332m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11217235-0.11222028) × cos(-0.02018006) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999796389499113 × 6371000     		du = 305.29985508413m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02013214)-sin(-0.02018006))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999797355314025-0.999796389499113)×R²
    abs(0.11222028-0.11217235)×9.65814912157192e-07×R²
    4.79300000000016e-05×9.65814912157192e-07×6371000²
    4.79300000000016e-05×9.65814912157192e-07×40589641000000     		ar = 93207.5778910421m²