Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67874 / 65826
↖ ↑ ↗
← S  0.796483°
E  6.421509°		 ← 305.40 m → S  0.796483°
E  6.424255°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
S  0.799230°
E  6.421509°		 ← 305.40 m →
93 276 m²		 S  0.799230°
E  6.424255°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67874 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65826 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517841339111328 y=0.502216339111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517841339111328 × 217)
    floor (0.517841339111328 × 131072)
    floor (67874.5)     		tx = 67874
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.502216339111328 × 217)
    floor (0.502216339111328 × 131072)
    floor (65826.5)     		ty = 65826
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67874 / 65826 ti = "17/67874/65826"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67874/65826.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67874 ÷ 217
    67874 ÷ 131072     		x = 0.517837524414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65826 ÷ 217
    65826 ÷ 131072     		y = 0.502212524414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517837524414062 × 2 - 1) × π
    0.035675048828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11207647
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.502212524414062 × 2 - 1) × π
    -0.004425048828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0139017008898163
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11207647} λ = 0.11207647}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0139017008898163))-π/2
    2×atan(0.986194481538363)-π/2
    2×0.778447536825475-π/2
    1.55689507365095-1.57079632675     		φ = -0.01390125
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11207647} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.421509°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01390125 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.796483°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67874 KachelY 65826 0.11207647 -0.01390125 6.421509 -0.796483
    Oben rechts KachelX + 1 67875 KachelY 65826 0.11212441 -0.01390125 6.424255 -0.796483
    Unten links KachelX 67874 KachelY + 1 65827 0.11207647 -0.01394919 6.421509 -0.799230
    Unten rechts KachelX + 1 67875 KachelY + 1 65827 0.11212441 -0.01394919 6.424255 -0.799230
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01390125--0.01394919) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.425739999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01390125--0.01394919) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.425739999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11207647-0.11212441) × cos(-0.01390125) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999903379180189 × 6371000     		do = 305.396229514586m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11207647-0.11212441) × cos(-0.01394919) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999902711626718 × 6371000     		du = 305.396025626573m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01390125)-sin(-0.01394919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999903379180189-0.999902711626718)×R²
    abs(0.11212441-0.11207647)×6.67553471833671e-07×R²
    4.79399999999963e-05×6.67553471833671e-07×6371000²
    4.79399999999963e-05×6.67553471833671e-07×40589641000000     		ar = 93275.8382742441m²