Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67832 / 67976
↖ ↑ ↗
← S  6.686431°
E  6.306152°		 ← 303.35 m → S  6.686431°
E  6.308899°		 →
↑
303.32 m
↓
↑
303.32 m
↓
S  6.689159°
E  6.306152°		 ← 303.35 m →
92 012 m²		 S  6.689159°
E  6.308899°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67832 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 67976 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517520904541016 y=0.518619537353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517520904541016 × 217)
    floor (0.517520904541016 × 131072)
    floor (67832.5)     		tx = 67832
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.518619537353516 × 217)
    floor (0.518619537353516 × 131072)
    floor (67976.5)     		ty = 67976
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67832 / 67976 ti = "17/67832/67976"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67832/67976.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67832 ÷ 217
    67832 ÷ 131072     		x = 0.51751708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 67976 ÷ 217
    67976 ÷ 131072     		y = 0.51861572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51751708984375 × 2 - 1) × π
    0.0350341796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11006312
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.51861572265625 × 2 - 1) × π
    -0.0372314453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.116966035072937
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11006312} λ = 0.11006312}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.116966035072937))-π/2
    2×atan(0.889615408372739)-π/2
    2×0.727048043115596-π/2
    1.45409608623119-1.57079632675     		φ = -0.11670024
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11006312} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.306152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.11670024 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.686431°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67832 KachelY 67976 0.11006312 -0.11670024 6.306152 -6.686431
    Oben rechts KachelX + 1 67833 KachelY 67976 0.11011106 -0.11670024 6.308899 -6.686431
    Unten links KachelX 67832 KachelY + 1 67977 0.11006312 -0.11674785 6.306152 -6.689159
    Unten rechts KachelX + 1 67833 KachelY + 1 67977 0.11011106 -0.11674785 6.308899 -6.689159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.11670024--0.11674785) × R
    4.76100000000035e-05 × 6371000     		dl = 303.323310000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.11670024--0.11674785) × R
    4.76100000000035e-05 × 6371000     		dr = 303.323310000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11006312-0.11011106) × cos(-0.11670024) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.993198251638288 × 6371000     		do = 303.348310973307m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11006312-0.11011106) × cos(-0.11674785) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.993192707016999 × 6371000     		du = 303.346617503247m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.11670024)-sin(-0.11674785))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993198251638288-0.993192707016999)×R²
    abs(0.11011106-0.11006312)×5.54462128898869e-06×R²
    4.79399999999963e-05×5.54462128898869e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×5.54462128898869e-06×40589641000000     		ar = 92012.3569502231m²