Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 67831 / 65973
↖ ↑ ↗
← S  1.200168°
E  6.303405°		 ← 305.36 m → S  1.200168°
E  6.306152°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  1.202915°
E  6.303405°		 ← 305.36 m →
93 245 m²		 S  1.202915°
E  6.306152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67831 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65973 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517513275146484 y=0.503337860107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517513275146484 × 217)
    floor (0.517513275146484 × 131072)
    floor (67831.5)     		tx = 67831
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503337860107422 × 217)
    floor (0.503337860107422 × 131072)
    floor (65973.5)     		ty = 65973
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67831 / 65973 ti = "17/67831/65973"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67831/65973.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67831 ÷ 217
    67831 ÷ 131072     		x = 0.517509460449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65973 ÷ 217
    65973 ÷ 131072     		y = 0.503334045410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517509460449219 × 2 - 1) × π
    0.0350189208984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11001518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.503334045410156 × 2 - 1) × π
    -0.0066680908203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0209484251339645
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11001518} λ = 0.11001518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0209484251339645))-π/2
    2×atan(0.979269468958744)-π/2
    2×0.774924716824255-π/2
    1.54984943364851-1.57079632675     		φ = -0.02094689
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11001518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.303405°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02094689 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.200168°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67831 KachelY 65973 0.11001518 -0.02094689 6.303405 -1.200168
    Oben rechts KachelX + 1 67832 KachelY 65973 0.11006312 -0.02094689 6.306152 -1.200168
    Unten links KachelX 67831 KachelY + 1 65974 0.11001518 -0.02099482 6.303405 -1.202915
    Unten rechts KachelX + 1 67832 KachelY + 1 65974 0.11006312 -0.02099482 6.306152 -1.202915
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02094689--0.02099482) × R
    4.79300000000016e-05 × 6371000     		dl = 305.36203000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02094689--0.02099482) × R
    4.79300000000016e-05 × 6371000     		dr = 305.36203000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11001518-0.11006312) × cos(-0.02094689) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999780621921257 × 6371000     		do = 305.358736287937m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11001518-0.11006312) × cos(-0.02099482) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999779616861847 × 6371000     		du = 305.358429316923m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02094689)-sin(-0.02099482))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999780621921257-0.999779616861847)×R²
    abs(0.11006312-0.11001518)×1.00505940936468e-06×R²
    4.79399999999963e-05×1.00505940936468e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.00505940936468e-06×40589641000000     		ar = 93244.9167403271m²