Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67829 / 65970
↖ ↑ ↗
← S  1.191930°
E  6.297913°		 ← 305.36 m → S  1.191930°
E  6.300659°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  1.194677°
E  6.297913°		 ← 305.36 m →
93 245 m²		 S  1.194677°
E  6.300659°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67829 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65970 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517498016357422 y=0.503314971923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517498016357422 × 217)
    floor (0.517498016357422 × 131072)
    floor (67829.5)     		tx = 67829
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503314971923828 × 217)
    floor (0.503314971923828 × 131072)
    floor (65970.5)     		ty = 65970
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67829 / 65970 ti = "17/67829/65970"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67829/65970.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67829 ÷ 217
    67829 ÷ 131072     		x = 0.517494201660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65970 ÷ 217
    65970 ÷ 131072     		y = 0.503311157226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517494201660156 × 2 - 1) × π
    0.0349884033203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10991931
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.503311157226562 × 2 - 1) × π
    -0.006622314453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0208046144351044
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10991931} λ = 0.10991931}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0208046144351044))-π/2
    2×atan(0.979410308512322)-π/2
    2×0.774996606507247-π/2
    1.54999321301449-1.57079632675     		φ = -0.02080311
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10991931} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.297913°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02080311 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.191930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67829 KachelY 65970 0.10991931 -0.02080311 6.297913 -1.191930
    Oben rechts KachelX + 1 67830 KachelY 65970 0.10996725 -0.02080311 6.300659 -1.191930
    Unten links KachelX 67829 KachelY + 1 65971 0.10991931 -0.02085104 6.297913 -1.194677
    Unten rechts KachelX + 1 67830 KachelY + 1 65971 0.10996725 -0.02085104 6.300659 -1.194677
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02080311--0.02085104) × R
    4.79300000000016e-05 × 6371000     		dl = 305.36203000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02080311--0.02085104) × R
    4.79300000000016e-05 × 6371000     		dr = 305.36203000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10991931-0.10996725) × cos(-0.02080311) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999783623110774 × 6371000     		do = 305.359652928466m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10991931-0.10996725) × cos(-0.02085104) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999782624941235 × 6371000     		du = 305.359348061796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02080311)-sin(-0.02085104))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999783623110774-0.999782624941235)×R²
    abs(0.10996725-0.10991931)×9.98169538801719e-07×R²
    4.79399999999963e-05×9.98169538801719e-07×6371000²
    4.79399999999963e-05×9.98169538801719e-07×40589641000000     		ar = 93245.1969688319m²