Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67825 / 67951
↖ ↑ ↗
← S  6.618229°
E  6.286926°		 ← 303.39 m → S  6.618229°
E  6.289673°		 →
↑
303.32 m
↓
↑
303.32 m
↓
S  6.620957°
E  6.286926°		 ← 303.39 m →
92 025 m²		 S  6.620957°
E  6.289673°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67825 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 67951 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517467498779297 y=0.518428802490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517467498779297 × 217)
    floor (0.517467498779297 × 131072)
    floor (67825.5)     		tx = 67825
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.518428802490234 × 217)
    floor (0.518428802490234 × 131072)
    floor (67951.5)     		ty = 67951
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67825 / 67951 ti = "17/67825/67951"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67825/67951.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67825 ÷ 217
    67825 ÷ 131072     		x = 0.517463684082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 67951 ÷ 217
    67951 ÷ 131072     		y = 0.518424987792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517463684082031 × 2 - 1) × π
    0.0349273681640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10972756
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.518424987792969 × 2 - 1) × π
    -0.0368499755859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.115767612582436
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10972756} λ = 0.10972756}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.115767612582436))-π/2
    2×atan(0.890682182581455)-π/2
    2×0.727643220060381-π/2
    1.45528644012076-1.57079632675     		φ = -0.11550989
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10972756} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.286926°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.11550989 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.618229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67825 KachelY 67951 0.10972756 -0.11550989 6.286926 -6.618229
    Oben rechts KachelX + 1 67826 KachelY 67951 0.10977550 -0.11550989 6.289673 -6.618229
    Unten links KachelX 67825 KachelY + 1 67952 0.10972756 -0.11555750 6.286926 -6.620957
    Unten rechts KachelX + 1 67826 KachelY + 1 67952 0.10977550 -0.11555750 6.289673 -6.620957
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.11550989--0.11555750) × R
    4.76099999999896e-05 × 6371000     		dl = 303.323309999934m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.11550989--0.11555750) × R
    4.76099999999896e-05 × 6371000     		dr = 303.323309999934m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10972756-0.10977550) × cos(-0.11550989) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.993336146992541 × 6371000     		do = 303.390427763922m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10972756-0.10977550) × cos(-0.11555750) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.9933306586621 × 6371000     		du = 303.388751486536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.11550989)-sin(-0.11555750))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993336146992541-0.9933306586621)×R²
    abs(0.10977550-0.10972756)×5.48833044022867e-06×R²
    4.79399999999963e-05×5.48833044022867e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×5.48833044022867e-06×40589641000000     		ar = 92025.1345620436m²