Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 67823 / 65967
↖ ↑ ↗
← S  1.183692°
E  6.281433°		 ← 305.36 m → S  1.183692°
E  6.284180°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  1.186439°
E  6.281433°		 ← 305.36 m →
93 245 m²		 S  1.186439°
E  6.284180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67823 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65967 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517452239990234 y=0.503292083740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517452239990234 × 217)
    floor (0.517452239990234 × 131072)
    floor (67823.5)     		tx = 67823
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503292083740234 × 217)
    floor (0.503292083740234 × 131072)
    floor (65967.5)     		ty = 65967
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67823 / 65967 ti = "17/67823/65967"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67823/65967.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67823 ÷ 217
    67823 ÷ 131072     		x = 0.517448425292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65967 ÷ 217
    65967 ÷ 131072     		y = 0.503288269042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517448425292969 × 2 - 1) × π
    0.0348968505859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10963169
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.503288269042969 × 2 - 1) × π
    -0.0065765380859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0206608037362442
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10963169} λ = 0.10963169}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0206608037362442))-π/2
    2×atan(0.979551168321591)-π/2
    2×0.775068496405298-π/2
    1.5501369928106-1.57079632675     		φ = -0.02065933
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10963169} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.281433°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02065933 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.183692°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67823 KachelY 65967 0.10963169 -0.02065933 6.281433 -1.183692
    Oben rechts KachelX + 1 67824 KachelY 65967 0.10967963 -0.02065933 6.284180 -1.183692
    Unten links KachelX 67823 KachelY + 1 65968 0.10963169 -0.02070726 6.281433 -1.186439
    Unten rechts KachelX + 1 67824 KachelY + 1 65968 0.10967963 -0.02070726 6.284180 -1.186439
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02065933--0.02070726) × R
    4.79300000000016e-05 × 6371000     		dl = 305.36203000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02065933--0.02070726) × R
    4.79300000000016e-05 × 6371000     		dr = 305.36203000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10963169-0.10967963) × cos(-0.02065933) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999786603632076 × 6371000     		do = 305.36056325639m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10963169-0.10967963) × cos(-0.02070726) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999785612352428 × 6371000     		du = 305.36026049407m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02065933)-sin(-0.02070726))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999786603632076-0.999785612352428)×R²
    abs(0.10967963-0.10963169)×9.91279647699628e-07×R²
    4.79399999999963e-05×9.91279647699628e-07×6371000²
    4.79399999999963e-05×9.91279647699628e-07×40589641000000     		ar = 93245.4752697065m²