Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67822 / 67956
↖ ↑ ↗
← S  6.631870°
E  6.278686°		 ← 303.38 m → S  6.631870°
E  6.281433°		 →
↑
303.39 m
↓
↑
303.39 m
↓
S  6.634599°
E  6.278686°		 ← 303.38 m →
92 042 m²		 S  6.634599°
E  6.281433°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67822 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 67956 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517444610595703 y=0.518466949462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517444610595703 × 217)
    floor (0.517444610595703 × 131072)
    floor (67822.5)     		tx = 67822
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.518466949462891 × 217)
    floor (0.518466949462891 × 131072)
    floor (67956.5)     		ty = 67956
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67822 / 67956 ti = "17/67822/67956"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67822/67956.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67822 ÷ 217
    67822 ÷ 131072     		x = 0.517440795898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 67956 ÷ 217
    67956 ÷ 131072     		y = 0.518463134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517440795898438 × 2 - 1) × π
    0.034881591796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10958375
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.518463134765625 × 2 - 1) × π
    -0.03692626953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.116007297080536
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10958375} λ = 0.10958375}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.116007297080536))-π/2
    2×atan(0.890468725451761)-π/2
    2×0.727524178067781-π/2
    1.45504835613556-1.57079632675     		φ = -0.11574797
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10958375} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.278686°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.11574797 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.631870°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67822 KachelY 67956 0.10958375 -0.11574797 6.278686 -6.631870
    Oben rechts KachelX + 1 67823 KachelY 67956 0.10963169 -0.11574797 6.281433 -6.631870
    Unten links KachelX 67822 KachelY + 1 67957 0.10958375 -0.11579559 6.278686 -6.634599
    Unten rechts KachelX + 1 67823 KachelY + 1 67957 0.10963169 -0.11579559 6.281433 -6.634599
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.11574797--0.11579559) × R
    4.76199999999982e-05 × 6371000     		dl = 303.387019999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.11574797--0.11579559) × R
    4.76199999999982e-05 × 6371000     		dr = 303.387019999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10958375-0.10963169) × cos(-0.11574797) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.993308679359827 × 6371000     		do = 303.382038441962m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10958375-0.10963169) × cos(-0.11579559) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.99330317861475 × 6371000     		du = 303.380358372827m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.11574797)-sin(-0.11579559))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993308679359827-0.99330317861475)×R²
    abs(0.10963169-0.10958375)×5.50074507732479e-06×R²
    4.79400000000102e-05×5.50074507732479e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×5.50074507732479e-06×40589641000000     		ar = 92041.9177262407m²