Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67822 / 66011
↖ ↑ ↗
← S  1.304514°
E  6.278686°		 ← 305.35 m → S  1.304514°
E  6.281433°		 →
↑
305.30 m
↓
↑
305.30 m
↓
S  1.307259°
E  6.278686°		 ← 305.35 m →
93 222 m²		 S  1.307259°
E  6.281433°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67822 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66011 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517444610595703 y=0.503627777099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517444610595703 × 217)
    floor (0.517444610595703 × 131072)
    floor (67822.5)     		tx = 67822
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503627777099609 × 217)
    floor (0.503627777099609 × 131072)
    floor (66011.5)     		ty = 66011
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67822 / 66011 ti = "17/67822/66011"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67822/66011.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67822 ÷ 217
    67822 ÷ 131072     		x = 0.517440795898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66011 ÷ 217
    66011 ÷ 131072     		y = 0.503623962402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517440795898438 × 2 - 1) × π
    0.034881591796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10958375
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.503623962402344 × 2 - 1) × π
    -0.0072479248046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0227700273195267
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10958375} λ = 0.10958375}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0227700273195267))-π/2
    2×atan(0.97748725329063)-π/2
    2×0.774014133416054-π/2
    1.54802826683211-1.57079632675     		φ = -0.02276806
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10958375} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.278686°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02276806 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.304514°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67822 KachelY 66011 0.10958375 -0.02276806 6.278686 -1.304514
    Oben rechts KachelX + 1 67823 KachelY 66011 0.10963169 -0.02276806 6.281433 -1.304514
    Unten links KachelX 67822 KachelY + 1 66012 0.10958375 -0.02281598 6.278686 -1.307259
    Unten rechts KachelX + 1 67823 KachelY + 1 66012 0.10963169 -0.02281598 6.281433 -1.307259
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02276806--0.02281598) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dl = 305.298319999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02276806--0.02281598) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dr = 305.298319999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10958375-0.10963169) × cos(-0.02276806) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.999740818918498 × 6371000     		do = 305.346579426453m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10958375-0.10963169) × cos(-0.02281598) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.999739726819458 × 6371000     		du = 305.346245871296m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02276806)-sin(-0.02281598))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999740818918498-0.999739726819458)×R²
    abs(0.10963169-0.10958375)×1.09209903931262e-06×R²
    4.79400000000102e-05×1.09209903931262e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×1.09209903931262e-06×40589641000000     		ar = 93221.7468175665m²