Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67821 / 67955
↖ ↑ ↗
← S  6.629142°
E  6.275940°		 ← 303.32 m → S  6.629142°
E  6.278686°		 →
↑
303.39 m
↓
↑
303.39 m
↓
S  6.631870°
E  6.275940°		 ← 303.32 m →
92 023 m²		 S  6.631870°
E  6.278686°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67821 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 67955 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517436981201172 y=0.518459320068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517436981201172 × 217)
    floor (0.517436981201172 × 131072)
    floor (67821.5)     		tx = 67821
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.518459320068359 × 217)
    floor (0.518459320068359 × 131072)
    floor (67955.5)     		ty = 67955
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67821 / 67955 ti = "17/67821/67955"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67821/67955.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67821 ÷ 217
    67821 ÷ 131072     		x = 0.517433166503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 67955 ÷ 217
    67955 ÷ 131072     		y = 0.518455505371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517433166503906 × 2 - 1) × π
    0.0348663330078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10953582
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.518455505371094 × 2 - 1) × π
    -0.0369110107421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.115959360180916
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10953582} λ = 0.10953582}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.115959360180916))-π/2
    2×atan(0.890511412784808)-π/2
    2×0.727547986202901-π/2
    1.4550959724058-1.57079632675     		φ = -0.11570035
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10953582} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.275940°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.11570035 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.629142°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67821 KachelY 67955 0.10953582 -0.11570035 6.275940 -6.629142
    Oben rechts KachelX + 1 67822 KachelY 67955 0.10958375 -0.11570035 6.278686 -6.629142
    Unten links KachelX 67821 KachelY + 1 67956 0.10953582 -0.11574797 6.275940 -6.631870
    Unten rechts KachelX + 1 67822 KachelY + 1 67956 0.10958375 -0.11574797 6.278686 -6.631870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.11570035--0.11574797) × R
    4.76200000000121e-05 × 6371000     		dl = 303.387020000077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.11570035--0.11574797) × R
    4.76200000000121e-05 × 6371000     		dr = 303.387020000077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10953582-0.10958375) × cos(-0.11570035) × R
    4.79299999999877e-05 × 0.993314177852414 × 6371000     		do = 303.320433776716m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10953582-0.10958375) × cos(-0.11574797) × R
    4.79299999999877e-05 × 0.993308679359827 × 6371000     		du = 303.318754745858m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.11570035)-sin(-0.11574797))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993314177852414-0.993308679359827)×R²
    abs(0.10958375-0.10953582)×5.49849258679735e-06×R²
    4.79299999999877e-05×5.49849258679735e-06×6371000²
    4.79299999999877e-05×5.49849258679735e-06×40589641000000     		ar = 92023.2278279429m²