Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67819 / 66019
↖ ↑ ↗
← S  1.326480°
E  6.270447°		 ← 305.34 m → S  1.326480°
E  6.273193°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  1.329227°
E  6.270447°		 ← 305.34 m →
93 240 m²		 S  1.329227°
E  6.273193°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67819 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66019 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517421722412109 y=0.503688812255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517421722412109 × 217)
    floor (0.517421722412109 × 131072)
    floor (67819.5)     		tx = 67819
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503688812255859 × 217)
    floor (0.503688812255859 × 131072)
    floor (66019.5)     		ty = 66019
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67819 / 66019 ti = "17/67819/66019"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67819/66019.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67819 ÷ 217
    67819 ÷ 131072     		x = 0.517417907714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66019 ÷ 217
    66019 ÷ 131072     		y = 0.503684997558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517417907714844 × 2 - 1) × π
    0.0348358154296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10943994
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.503684997558594 × 2 - 1) × π
    -0.0073699951171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0231535225164871
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10943994} λ = 0.10943994}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0231535225164871))-π/2
    2×atan(0.97711246349354)-π/2
    2×0.773822436356444-π/2
    1.54764487271289-1.57079632675     		φ = -0.02315145
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10943994} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.270447°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02315145 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.326480°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67819 KachelY 66019 0.10943994 -0.02315145 6.270447 -1.326480
    Oben rechts KachelX + 1 67820 KachelY 66019 0.10948788 -0.02315145 6.273193 -1.326480
    Unten links KachelX 67819 KachelY + 1 66020 0.10943994 -0.02319938 6.270447 -1.329227
    Unten rechts KachelX + 1 67820 KachelY + 1 66020 0.10948788 -0.02319938 6.273193 -1.329227
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02315145--0.02319938) × R
    4.79299999999981e-05 × 6371000     		dl = 305.362029999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02315145--0.02319938) × R
    4.79299999999981e-05 × 6371000     		dr = 305.362029999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10943994-0.10948788) × cos(-0.02315145) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999732017151439 × 6371000     		do = 305.343891140147m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10943994-0.10948788) × cos(-0.02319938) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.99973090645323 × 6371000     		du = 305.343551904325m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02315145)-sin(-0.02319938))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999732017151439-0.99973090645323)×R²
    abs(0.10948788-0.10943994)×1.11069820862841e-06×R²
    4.79399999999963e-05×1.11069820862841e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.11069820862841e-06×40589641000000     		ar = 93240.378669632m²