Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67816 / 67943
↖ ↑ ↗
← S  6.596402°
E  6.262207°		 ← 303.40 m → S  6.596402°
E  6.264954°		 →
↑
303.39 m
↓
↑
303.39 m
↓
S  6.599131°
E  6.262207°		 ← 303.40 m →
92 049 m²		 S  6.599131°
E  6.264954°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 67943 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517398834228516 y=0.518367767333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517398834228516 × 217)
    floor (0.517398834228516 × 131072)
    floor (67816.5)     		tx = 67816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.518367767333984 × 217)
    floor (0.518367767333984 × 131072)
    floor (67943.5)     		ty = 67943
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67816 / 67943 ti = "17/67816/67943"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67816/67943.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67816 ÷ 217
    67816 ÷ 131072     		x = 0.51739501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 67943 ÷ 217
    67943 ÷ 131072     		y = 0.518363952636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51739501953125 × 2 - 1) × π
    0.0347900390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10929613
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.518363952636719 × 2 - 1) × π
    -0.0367279052734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.115384117385475
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10929613} λ = 0.10929613}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.115384117385475))-π/2
    2×atan(0.891023820424542)-π/2
    2×0.727833694085871-π/2
    1.45566738817174-1.57079632675     		φ = -0.11512894
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10929613} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.262207°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.11512894 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.596402°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67816 KachelY 67943 0.10929613 -0.11512894 6.262207 -6.596402
    Oben rechts KachelX + 1 67817 KachelY 67943 0.10934407 -0.11512894 6.264954 -6.596402
    Unten links KachelX 67816 KachelY + 1 67944 0.10929613 -0.11517656 6.262207 -6.599131
    Unten rechts KachelX + 1 67817 KachelY + 1 67944 0.10934407 -0.11517656 6.264954 -6.599131
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.11512894--0.11517656) × R
    4.76199999999982e-05 × 6371000     		dl = 303.387019999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.11512894--0.11517656) × R
    4.76199999999982e-05 × 6371000     		dr = 303.387019999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10929613-0.10934407) × cos(-0.11512894) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.993379980618401 × 6371000     		do = 303.403815681538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10929613-0.10934407) × cos(-0.11517656) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.993374509155255 × 6371000     		du = 303.402144555857m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.11512894)-sin(-0.11517656))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993379980618401-0.993374509155255)×R²
    abs(0.10934407-0.10929613)×5.47146314600067e-06×R²
    4.79399999999963e-05×5.47146314600067e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×5.47146314600067e-06×40589641000000     		ar = 92048.5260147292m²