Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67816 / 65912
↖ ↑ ↗
← S  1.032659°
E  6.262207°		 ← 305.38 m → S  1.032659°
E  6.264954°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  1.035405°
E  6.262207°		 ← 305.38 m →
93 250 m²		 S  1.035405°
E  6.264954°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65912 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517398834228516 y=0.502872467041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517398834228516 × 217)
    floor (0.517398834228516 × 131072)
    floor (67816.5)     		tx = 67816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.502872467041016 × 217)
    floor (0.502872467041016 × 131072)
    floor (65912.5)     		ty = 65912
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67816 / 65912 ti = "17/67816/65912"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67816/65912.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67816 ÷ 217
    67816 ÷ 131072     		x = 0.51739501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65912 ÷ 217
    65912 ÷ 131072     		y = 0.50286865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51739501953125 × 2 - 1) × π
    0.0347900390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10929613
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50286865234375 × 2 - 1) × π
    -0.0057373046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0180242742571411
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10929613} λ = 0.10929613}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0180242742571411))-π/2
    2×atan(0.982137191418209)-π/2
    2×0.776386514198117-π/2
    1.55277302839623-1.57079632675     		φ = -0.01802330
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10929613} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.262207°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01802330 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.032659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67816 KachelY 65912 0.10929613 -0.01802330 6.262207 -1.032659
    Oben rechts KachelX + 1 67817 KachelY 65912 0.10934407 -0.01802330 6.264954 -1.032659
    Unten links KachelX 67816 KachelY + 1 65913 0.10929613 -0.01807123 6.262207 -1.035405
    Unten rechts KachelX + 1 67817 KachelY + 1 65913 0.10934407 -0.01807123 6.264954 -1.035405
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01802330--0.01807123) × R
    4.79300000000016e-05 × 6371000     		dl = 305.36203000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01802330--0.01807123) × R
    4.79300000000016e-05 × 6371000     		dr = 305.36203000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10929613-0.10934407) × cos(-0.01802330) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999837584725199 × 6371000     		do = 305.376134194483m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10929613-0.10934407) × cos(-0.01807123) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999836719766743 × 6371000     		du = 305.375870013907m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01802330)-sin(-0.01807123))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999837584725199-0.999836719766743)×R²
    abs(0.10934407-0.10929613)×8.6495845619261e-07×R²
    4.79399999999963e-05×8.6495845619261e-07×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.6495845619261e-07×40589641000000     		ar = 93250.2359336762m²