Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67815 / 66013
↖ ↑ ↗
← S  1.310006°
E  6.259460°		 ← 305.35 m → S  1.310006°
E  6.262207°		 →
↑
305.30 m
↓
↑
305.30 m
↓
S  1.312751°
E  6.259460°		 ← 305.35 m →
93 222 m²		 S  1.312751°
E  6.262207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67815 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66013 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517391204833984 y=0.503643035888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517391204833984 × 217)
    floor (0.517391204833984 × 131072)
    floor (67815.5)     		tx = 67815
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503643035888672 × 217)
    floor (0.503643035888672 × 131072)
    floor (66013.5)     		ty = 66013
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67815 / 66013 ti = "17/67815/66013"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67815/66013.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67815 ÷ 217
    67815 ÷ 131072     		x = 0.517387390136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66013 ÷ 217
    66013 ÷ 131072     		y = 0.503639221191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517387390136719 × 2 - 1) × π
    0.0347747802734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10924819
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.503639221191406 × 2 - 1) × π
    -0.0072784423828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0228659011187668
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10924819} λ = 0.10924819}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0228659011187668))-π/2
    2×atan(0.977393542366231)-π/2
    2×0.773966208993146-π/2
    1.54793241798629-1.57079632675     		φ = -0.02286391
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10924819} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.259460°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02286391 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.310006°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67815 KachelY 66013 0.10924819 -0.02286391 6.259460 -1.310006
    Oben rechts KachelX + 1 67816 KachelY 66013 0.10929613 -0.02286391 6.262207 -1.310006
    Unten links KachelX 67815 KachelY + 1 66014 0.10924819 -0.02291183 6.259460 -1.312751
    Unten rechts KachelX + 1 67816 KachelY + 1 66014 0.10929613 -0.02291183 6.262207 -1.312751
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02286391--0.02291183) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dl = 305.298319999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02286391--0.02291183) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dr = 305.298319999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10924819-0.10929613) × cos(-0.02286391) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.999738632196071 × 6371000     		do = 305.345911545138m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10924819-0.10929613) × cos(-0.02291183) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.999737535505098 × 6371000     		du = 305.345576587486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02286391)-sin(-0.02291183))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999738632196071-0.999737535505098)×R²
    abs(0.10929613-0.10924819)×1.09669097336784e-06×R²
    4.79400000000102e-05×1.09669097336784e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×1.09669097336784e-06×40589641000000     		ar = 93221.5427004282m²