Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67814 / 67944
↖ ↑ ↗
← S  6.599131°
E  6.256714°		 ← 303.34 m → S  6.599131°
E  6.259460°		 →
↑
303.39 m
↓
↑
303.39 m
↓
S  6.601859°
E  6.256714°		 ← 303.34 m →
92 029 m²		 S  6.601859°
E  6.259460°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67814 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 67944 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517383575439453 y=0.518375396728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517383575439453 × 217)
    floor (0.517383575439453 × 131072)
    floor (67814.5)     		tx = 67814
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.518375396728516 × 217)
    floor (0.518375396728516 × 131072)
    floor (67944.5)     		ty = 67944
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67814 / 67944 ti = "17/67814/67944"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67814/67944.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67814 ÷ 217
    67814 ÷ 131072     		x = 0.517379760742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 67944 ÷ 217
    67944 ÷ 131072     		y = 0.51837158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517379760742188 × 2 - 1) × π
    0.034759521484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10920026
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.51837158203125 × 2 - 1) × π
    -0.0367431640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.115432054285095
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10920026} λ = 0.10920026}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.115432054285095))-π/2
    2×atan(0.89098110852885)-π/2
    2×0.727809884373226-π/2
    1.45561976874645-1.57079632675     		φ = -0.11517656
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10920026} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.256714°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.11517656 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.599131°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67814 KachelY 67944 0.10920026 -0.11517656 6.256714 -6.599131
    Oben rechts KachelX + 1 67815 KachelY 67944 0.10924819 -0.11517656 6.259460 -6.599131
    Unten links KachelX 67814 KachelY + 1 67945 0.10920026 -0.11522418 6.256714 -6.601859
    Unten rechts KachelX + 1 67815 KachelY + 1 67945 0.10924819 -0.11522418 6.259460 -6.601859
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.11517656--0.11522418) × R
    4.76199999999982e-05 × 6371000     		dl = 303.387019999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.11517656--0.11522418) × R
    4.76199999999982e-05 × 6371000     		dr = 303.387019999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10920026-0.10924819) × cos(-0.11517656) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.993374509155255 × 6371000     		do = 303.338856665912m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10920026-0.10924819) × cos(-0.11522418) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.993369035439469 × 6371000     		du = 303.337185200948m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.11517656)-sin(-0.11522418))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993374509155255-0.993369035439469)×R²
    abs(0.10924819-0.10920026)×5.47371578596412e-06×R²
    4.79300000000016e-05×5.47371578596412e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×5.47371578596412e-06×40589641000000     		ar = 92028.8182410702m²