Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67814 / 67942
↖ ↑ ↗
← S  6.593674°
E  6.256714°		 ← 303.34 m → S  6.593674°
E  6.259460°		 →
↑
303.39 m
↓
↑
303.39 m
↓
S  6.596402°
E  6.256714°		 ← 303.34 m →
92 030 m²		 S  6.596402°
E  6.259460°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67814 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 67942 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517383575439453 y=0.518360137939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517383575439453 × 217)
    floor (0.517383575439453 × 131072)
    floor (67814.5)     		tx = 67814
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.518360137939453 × 217)
    floor (0.518360137939453 × 131072)
    floor (67942.5)     		ty = 67942
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67814 / 67942 ti = "17/67814/67942"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67814/67942.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67814 ÷ 217
    67814 ÷ 131072     		x = 0.517379760742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 67942 ÷ 217
    67942 ÷ 131072     		y = 0.518356323242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517379760742188 × 2 - 1) × π
    0.034759521484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10920026
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.518356323242188 × 2 - 1) × π
    -0.036712646484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.115336180485855
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10920026} λ = 0.10920026}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.115336180485855))-π/2
    2×atan(0.89106653436776)-π/2
    2×0.727857503929631-π/2
    1.45571500785926-1.57079632675     		φ = -0.11508132
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10920026} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.256714°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.11508132 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.593674°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67814 KachelY 67942 0.10920026 -0.11508132 6.256714 -6.593674
    Oben rechts KachelX + 1 67815 KachelY 67942 0.10924819 -0.11508132 6.259460 -6.593674
    Unten links KachelX 67814 KachelY + 1 67943 0.10920026 -0.11512894 6.256714 -6.596402
    Unten rechts KachelX + 1 67815 KachelY + 1 67943 0.10924819 -0.11512894 6.259460 -6.596402
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.11508132--0.11512894) × R
    4.76199999999982e-05 × 6371000     		dl = 303.387019999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.11508132--0.11512894) × R
    4.76199999999982e-05 × 6371000     		dr = 303.387019999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10920026-0.10924819) × cos(-0.11508132) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.993385449828895 × 6371000     		do = 303.342197532224m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10920026-0.10924819) × cos(-0.11512894) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.993379980618401 × 6371000     		du = 303.340527443006m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.11508132)-sin(-0.11512894))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993385449828895-0.993379980618401)×R²
    abs(0.10924819-0.10920026)×5.46921049360272e-06×R²
    4.79300000000016e-05×5.46921049360272e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×5.46921049360272e-06×40589641000000     		ar = 92029.8320252322m²