Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67795 / 66022
↖ ↑ ↗
← S  1.334718°
E  6.204529°		 ← 305.28 m → S  1.334718°
E  6.207275°		 →
↑
305.30 m
↓
↑
305.30 m
↓
S  1.337464°
E  6.204529°		 ← 305.28 m →
93 201 m²		 S  1.337464°
E  6.207275°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67795 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66022 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517238616943359 y=0.503711700439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517238616943359 × 217)
    floor (0.517238616943359 × 131072)
    floor (67795.5)     		tx = 67795
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503711700439453 × 217)
    floor (0.503711700439453 × 131072)
    floor (66022.5)     		ty = 66022
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67795 / 66022 ti = "17/67795/66022"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67795/66022.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67795 ÷ 217
    67795 ÷ 131072     		x = 0.517234802246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66022 ÷ 217
    66022 ÷ 131072     		y = 0.503707885742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517234802246094 × 2 - 1) × π
    0.0344696044921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10828946
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.503707885742188 × 2 - 1) × π
    -0.007415771484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0232973332153473
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10828946} λ = 0.10828946}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0232973332153473))-π/2
    2×atan(0.9769719543709)-π/2
    2×0.773750550396328-π/2
    1.54750110079266-1.57079632675     		φ = -0.02329523
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10828946} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.204529°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02329523 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.334718°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67795 KachelY 66022 0.10828946 -0.02329523 6.204529 -1.334718
    Oben rechts KachelX + 1 67796 KachelY 66022 0.10833739 -0.02329523 6.207275 -1.334718
    Unten links KachelX 67795 KachelY + 1 66023 0.10828946 -0.02334315 6.204529 -1.337464
    Unten rechts KachelX + 1 67796 KachelY + 1 66023 0.10833739 -0.02334315 6.207275 -1.337464
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02329523--0.02334315) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dl = 305.298319999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02329523--0.02334315) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dr = 305.298319999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10828946-0.10833739) × cos(-0.02329523) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999728678399746 × 6371000     		do = 305.279178685374m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10828946-0.10833739) × cos(-0.02334315) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999727561045435 × 6371000     		du = 305.278837487793m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02329523)-sin(-0.02334315))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999728678399746-0.999727561045435)×R²
    abs(0.10833739-0.10828946)×1.11735431151949e-06×R²
    4.79300000000016e-05×1.11735431151949e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.11735431151949e-06×40589641000000     		ar = 93201.1683179373m²