Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67788 / 66020
↖ ↑ ↗
← S  1.329227°
E  6.185303°		 ← 305.28 m → S  1.329227°
E  6.188049°		 →
↑
305.30 m
↓
↑
305.30 m
↓
S  1.331972°
E  6.185303°		 ← 305.28 m →
93 201 m²		 S  1.331972°
E  6.188049°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67788 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66020 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517185211181641 y=0.503696441650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517185211181641 × 217)
    floor (0.517185211181641 × 131072)
    floor (67788.5)     		tx = 67788
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503696441650391 × 217)
    floor (0.503696441650391 × 131072)
    floor (66020.5)     		ty = 66020
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67788 / 66020 ti = "17/67788/66020"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67788/66020.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67788 ÷ 217
    67788 ÷ 131072     		x = 0.517181396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66020 ÷ 217
    66020 ÷ 131072     		y = 0.503692626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517181396484375 × 2 - 1) × π
    0.03436279296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10795390
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.503692626953125 × 2 - 1) × π
    -0.00738525390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0232014594161072
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10795390} λ = 0.10795390}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0232014594161072))-π/2
    2×atan(0.977065624874118)-π/2
    2×0.773798474343074-π/2
    1.54759694868615-1.57079632675     		φ = -0.02319938
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10795390} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.185303°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02319938 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.329227°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67788 KachelY 66020 0.10795390 -0.02319938 6.185303 -1.329227
    Oben rechts KachelX + 1 67789 KachelY 66020 0.10800183 -0.02319938 6.188049 -1.329227
    Unten links KachelX 67788 KachelY + 1 66021 0.10795390 -0.02324730 6.185303 -1.331972
    Unten rechts KachelX + 1 67789 KachelY + 1 66021 0.10800183 -0.02324730 6.188049 -1.331972
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02319938--0.02324730) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dl = 305.298319999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02319938--0.02324730) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dr = 305.298319999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10795390-0.10800183) × cos(-0.02319938) × R
    4.79299999999877e-05 × 0.99973090645323 × 6371000     		do = 305.27985904822m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10795390-0.10800183) × cos(-0.02324730) × R
    4.79299999999877e-05 × 0.999729793690807 × 6371000     		du = 305.279519252828m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02319938)-sin(-0.02324730))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99973090645323-0.999729793690807)×R²
    abs(0.10800183-0.10795390)×1.11276242320546e-06×R²
    4.79299999999877e-05×1.11276242320546e-06×6371000²
    4.79299999999877e-05×1.11276242320546e-06×40589641000000     		ar = 93201.3762456111m²