Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67780 / 65842
↖ ↑ ↗
← S  0.840424°
E  6.163330°		 ← 305.39 m → S  0.840424°
E  6.166077°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  0.843170°
E  6.163330°		 ← 305.39 m →
93 255 m²		 S  0.843170°
E  6.166077°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67780 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65842 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517124176025391 y=0.502338409423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517124176025391 × 217)
    floor (0.517124176025391 × 131072)
    floor (67780.5)     		tx = 67780
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.502338409423828 × 217)
    floor (0.502338409423828 × 131072)
    floor (65842.5)     		ty = 65842
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67780 / 65842 ti = "17/67780/65842"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67780/65842.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67780 ÷ 217
    67780 ÷ 131072     		x = 0.517120361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65842 ÷ 217
    65842 ÷ 131072     		y = 0.502334594726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517120361328125 × 2 - 1) × π
    0.03424072265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10757040
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.502334594726562 × 2 - 1) × π
    -0.004669189453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0146686912837372
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10757040} λ = 0.10757040}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0146686912837372))-π/2
    2×atan(0.985438369846754)-π/2
    2×0.778064080763907-π/2
    1.55612816152781-1.57079632675     		φ = -0.01466817
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10757040} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.163330°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01466817 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.840424°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67780 KachelY 65842 0.10757040 -0.01466817 6.163330 -0.840424
    Oben rechts KachelX + 1 67781 KachelY 65842 0.10761834 -0.01466817 6.166077 -0.840424
    Unten links KachelX 67780 KachelY + 1 65843 0.10757040 -0.01471610 6.163330 -0.843170
    Unten rechts KachelX + 1 67781 KachelY + 1 65843 0.10761834 -0.01471610 6.166077 -0.843170
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01466817--0.01471610) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.362029999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01466817--0.01471610) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.362029999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10757040-0.10761834) × cos(-0.01466817) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.999892424323235 × 6371000     		do = 305.392883619383m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10757040-0.10761834) × cos(-0.01471610) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.999891720154539 × 6371000     		du = 305.392668548138m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01466817)-sin(-0.01471610))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999892424323235-0.999891720154539)×R²
    abs(0.10761834-0.10757040)×7.04168696352703e-07×R²
    4.79400000000102e-05×7.04168696352703e-07×6371000²
    4.79400000000102e-05×7.04168696352703e-07×40589641000000     		ar = 93255.3580701264m²