Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67760 / 65904
↖ ↑ ↗
← S  1.010690°
E  6.108398°		 ← 305.38 m → S  1.010690°
E  6.111145°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  1.013436°
E  6.108398°		 ← 305.38 m →
93 251 m²		 S  1.013436°
E  6.111145°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65904 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516971588134766 y=0.502811431884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516971588134766 × 217)
    floor (0.516971588134766 × 131072)
    floor (67760.5)     		tx = 67760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.502811431884766 × 217)
    floor (0.502811431884766 × 131072)
    floor (65904.5)     		ty = 65904
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67760 / 65904 ti = "17/67760/65904"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67760/65904.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67760 ÷ 217
    67760 ÷ 131072     		x = 0.5169677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65904 ÷ 217
    65904 ÷ 131072     		y = 0.5028076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5169677734375 × 2 - 1) × π
    0.033935546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10661166
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5028076171875 × 2 - 1) × π
    -0.005615234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0176407790601807
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10661166} λ = 0.10661166}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0176407790601807))-π/2
    2×atan(0.982513908543861)-π/2
    2×0.776578231311689-π/2
    1.55315646262338-1.57079632675     		φ = -0.01763986
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10661166} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.108398°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01763986 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.010690°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67760 KachelY 65904 0.10661166 -0.01763986 6.108398 -1.010690
    Oben rechts KachelX + 1 67761 KachelY 65904 0.10665960 -0.01763986 6.111145 -1.010690
    Unten links KachelX 67760 KachelY + 1 65905 0.10661166 -0.01768779 6.108398 -1.013436
    Unten rechts KachelX + 1 67761 KachelY + 1 65905 0.10665960 -0.01768779 6.111145 -1.013436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01763986--0.01768779) × R
    4.79299999999981e-05 × 6371000     		dl = 305.362029999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01763986--0.01768779) × R
    4.79299999999981e-05 × 6371000     		dr = 305.362029999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10661166-0.10665960) × cos(-0.01763986) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999844421703859 × 6371000     		do = 305.37822238375m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10661166-0.10665960) × cos(-0.01768779) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999843575120752 × 6371000     		du = 305.377963815478m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01763986)-sin(-0.01768779))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999844421703859-0.999843575120752)×R²
    abs(0.10665960-0.10661166)×8.4658310672836e-07×R²
    4.79399999999963e-05×8.4658310672836e-07×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.4658310672836e-07×40589641000000     		ar = 93250.8744442782m²