Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67759 / 65841
↖ ↑ ↗
← S  0.837677°
E  6.105652°		 ← 305.33 m → S  0.837677°
E  6.108398°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
S  0.840424°
E  6.105652°		 ← 305.33 m →
93 255 m²		 S  0.840424°
E  6.108398°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67759 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65841 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516963958740234 y=0.502330780029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516963958740234 × 217)
    floor (0.516963958740234 × 131072)
    floor (67759.5)     		tx = 67759
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.502330780029297 × 217)
    floor (0.502330780029297 × 131072)
    floor (65841.5)     		ty = 65841
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67759 / 65841 ti = "17/67759/65841"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67759/65841.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67759 ÷ 217
    67759 ÷ 131072     		x = 0.516960144042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65841 ÷ 217
    65841 ÷ 131072     		y = 0.502326965332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516960144042969 × 2 - 1) × π
    0.0339202880859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10656373
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.502326965332031 × 2 - 1) × π
    -0.0046539306640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0146207543841171
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10656373} λ = 0.10656373}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0146207543841171))-π/2
    2×atan(0.985485609839232)-π/2
    2×0.778088046643712-π/2
    1.55617609328742-1.57079632675     		φ = -0.01462023
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10656373} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.105652°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01462023 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.837677°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67759 KachelY 65841 0.10656373 -0.01462023 6.105652 -0.837677
    Oben rechts KachelX + 1 67760 KachelY 65841 0.10661166 -0.01462023 6.108398 -0.837677
    Unten links KachelX 67759 KachelY + 1 65842 0.10656373 -0.01466817 6.105652 -0.840424
    Unten rechts KachelX + 1 67760 KachelY + 1 65842 0.10661166 -0.01466817 6.108398 -0.840424
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01462023--0.01466817) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.425739999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01462023--0.01466817) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.425739999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10656373-0.10661166) × cos(-0.01462023) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999893126341091 × 6371000     		do = 305.329394842572m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10656373-0.10661166) × cos(-0.01466817) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999892424323235 × 6371000     		du = 305.329180472975m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01462023)-sin(-0.01466817))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999893126341091-0.999892424323235)×R²
    abs(0.10661166-0.10656373)×7.02017855735981e-07×R²
    4.79300000000016e-05×7.02017855735981e-07×6371000²
    4.79300000000016e-05×7.02017855735981e-07×40589641000000     		ar = 93255.4236444082m²