Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67756 / 68012
↖ ↑ ↗
← S  6.784626°
E  6.097412°		 ← 303.22 m → S  6.784626°
E  6.100158°		 →
↑
303.26 m
↓
↑
303.26 m
↓
S  6.787353°
E  6.097412°		 ← 303.22 m →
91 955 m²		 S  6.787353°
E  6.100158°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67756 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68012 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516941070556641 y=0.518894195556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516941070556641 × 217)
    floor (0.516941070556641 × 131072)
    floor (67756.5)     		tx = 67756
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.518894195556641 × 217)
    floor (0.518894195556641 × 131072)
    floor (68012.5)     		ty = 68012
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67756 / 68012 ti = "17/67756/68012"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67756/68012.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67756 ÷ 217
    67756 ÷ 131072     		x = 0.516937255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68012 ÷ 217
    68012 ÷ 131072     		y = 0.518890380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516937255859375 × 2 - 1) × π
    0.03387451171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10641992
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.518890380859375 × 2 - 1) × π
    -0.03778076171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.118691763459259
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10641992} λ = 0.10641992}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.118691763459259))-π/2
    2×atan(0.888081497746839)-π/2
    2×0.726191134421978-π/2
    1.45238226884396-1.57079632675     		φ = -0.11841406
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10641992} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.097412°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.11841406 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.784626°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67756 KachelY 68012 0.10641992 -0.11841406 6.097412 -6.784626
    Oben rechts KachelX + 1 67757 KachelY 68012 0.10646785 -0.11841406 6.100158 -6.784626
    Unten links KachelX 67756 KachelY + 1 68013 0.10641992 -0.11846166 6.097412 -6.787353
    Unten rechts KachelX + 1 67757 KachelY + 1 68013 0.10646785 -0.11846166 6.100158 -6.787353
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.11841406--0.11846166) × R
    4.75999999999949e-05 × 6371000     		dl = 303.259599999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.11841406--0.11846166) × R
    4.75999999999949e-05 × 6371000     		dr = 303.259599999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10641992-0.10646785) × cos(-0.11841406) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.992997243593606 × 6371000     		do = 303.223654088158m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10641992-0.10646785) × cos(-0.11846166) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.992991619122592 × 6371000     		du = 303.221936588271m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.11841406)-sin(-0.11846166))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.992997243593606-0.992991619122592)×R²
    abs(0.10646785-0.10641992)×5.62447101415398e-06×R²
    4.79300000000016e-05×5.62447101415398e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×5.62447101415398e-06×40589641000000     		ar = 91955.2236425061m²