Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67754 / 68010
↖ ↑ ↗
← S  6.779171°
E  6.091919°		 ← 303.29 m → S  6.779171°
E  6.094666°		 →
↑
303.32 m
↓
↑
303.32 m
↓
S  6.781899°
E  6.091919°		 ← 303.29 m →
91 995 m²		 S  6.781899°
E  6.094666°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67754 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68010 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516925811767578 y=0.518878936767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516925811767578 × 217)
    floor (0.516925811767578 × 131072)
    floor (67754.5)     		tx = 67754
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.518878936767578 × 217)
    floor (0.518878936767578 × 131072)
    floor (68010.5)     		ty = 68010
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67754 / 68010 ti = "17/67754/68010"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67754/68010.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67754 ÷ 217
    67754 ÷ 131072     		x = 0.516921997070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68010 ÷ 217
    68010 ÷ 131072     		y = 0.518875122070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516921997070312 × 2 - 1) × π
    0.033843994140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10632404
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.518875122070312 × 2 - 1) × π
    -0.037750244140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.118595889660019
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10632404} λ = 0.10632404}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.118595889660019))-π/2
    2×atan(0.88816664557572)-π/2
    2×0.72623873590068-π/2
    1.45247747180136-1.57079632675     		φ = -0.11831885
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10632404} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.091919°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.11831885 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.779171°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67754 KachelY 68010 0.10632404 -0.11831885 6.091919 -6.779171
    Oben rechts KachelX + 1 67755 KachelY 68010 0.10637198 -0.11831885 6.094666 -6.779171
    Unten links KachelX 67754 KachelY + 1 68011 0.10632404 -0.11836646 6.091919 -6.781899
    Unten rechts KachelX + 1 67755 KachelY + 1 68011 0.10637198 -0.11836646 6.094666 -6.781899
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.11831885--0.11836646) × R
    4.76100000000035e-05 × 6371000     		dl = 303.323310000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.11831885--0.11836646) × R
    4.76100000000035e-05 × 6371000     		dr = 303.323310000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10632404-0.10637198) × cos(-0.11831885) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.993008486966371 × 6371000     		do = 303.290351958049m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10632404-0.10637198) × cos(-0.11836646) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.993002865814727 × 6371000     		du = 303.288635113648m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.11831885)-sin(-0.11836646))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993008486966371-0.993002865814727)×R²
    abs(0.10637198-0.10632404)×5.62115164437493e-06×R²
    4.79400000000102e-05×5.62115164437493e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×5.62115164437493e-06×40589641000000     		ar = 91994.7730848977m²