Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67753 / 67992
↖ ↑ ↗
← S  6.730076°
E  6.089173°		 ← 303.26 m → S  6.730076°
E  6.091919°		 →
↑
303.32 m
↓
↑
303.32 m
↓
S  6.732804°
E  6.089173°		 ← 303.26 m →
91 985 m²		 S  6.732804°
E  6.091919°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67753 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 67992 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516918182373047 y=0.518741607666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516918182373047 × 217)
    floor (0.516918182373047 × 131072)
    floor (67753.5)     		tx = 67753
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.518741607666016 × 217)
    floor (0.518741607666016 × 131072)
    floor (67992.5)     		ty = 67992
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67753 / 67992 ti = "17/67753/67992"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67753/67992.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67753 ÷ 217
    67753 ÷ 131072     		x = 0.516914367675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 67992 ÷ 217
    67992 ÷ 131072     		y = 0.51873779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516914367675781 × 2 - 1) × π
    0.0338287353515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10627611
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.51873779296875 × 2 - 1) × π
    -0.0374755859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.117733025466858
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10627611} λ = 0.10627611}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.117733025466858))-π/2
    2×atan(0.888933343502272)-π/2
    2×0.726667173400349-π/2
    1.4533343468007-1.57079632675     		φ = -0.11746198
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10627611} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.089173°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.11746198 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.730076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67753 KachelY 67992 0.10627611 -0.11746198 6.089173 -6.730076
    Oben rechts KachelX + 1 67754 KachelY 67992 0.10632404 -0.11746198 6.091919 -6.730076
    Unten links KachelX 67753 KachelY + 1 67993 0.10627611 -0.11750959 6.089173 -6.732804
    Unten rechts KachelX + 1 67754 KachelY + 1 67993 0.10632404 -0.11750959 6.091919 -6.732804
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.11746198--0.11750959) × R
    4.76100000000035e-05 × 6371000     		dl = 303.323310000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.11746198--0.11750959) × R
    4.76100000000035e-05 × 6371000     		dr = 303.323310000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10627611-0.10632404) × cos(-0.11746198) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.993109269894725 × 6371000     		do = 303.257862666881m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10627611-0.10632404) × cos(-0.11750959) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.993103689255382 × 6371000     		du = 303.256158551523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.11746198)-sin(-0.11750959))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993109269894725-0.993103689255382)×R²
    abs(0.10632404-0.10627611)×5.58063934263942e-06×R²
    4.79300000000016e-05×5.58063934263942e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×5.58063934263942e-06×40589641000000     		ar = 91984.9202560702m²