Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67751 / 67999
↖ ↑ ↗
← S  6.749169°
E  6.083679°		 ← 303.31 m → S  6.749169°
E  6.086426°		 →
↑
303.26 m
↓
↑
303.26 m
↓
S  6.751896°
E  6.083679°		 ← 303.31 m →
91 981 m²		 S  6.751896°
E  6.086426°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67751 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 67999 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516902923583984 y=0.518795013427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516902923583984 × 217)
    floor (0.516902923583984 × 131072)
    floor (67751.5)     		tx = 67751
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.518795013427734 × 217)
    floor (0.518795013427734 × 131072)
    floor (67999.5)     		ty = 67999
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67751 / 67999 ti = "17/67751/67999"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67751/67999.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67751 ÷ 217
    67751 ÷ 131072     		x = 0.516899108886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 67999 ÷ 217
    67999 ÷ 131072     		y = 0.518791198730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516899108886719 × 2 - 1) × π
    0.0337982177734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10618023
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.518791198730469 × 2 - 1) × π
    -0.0375823974609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.118068583764198
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10618023} λ = 0.10618023}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.118068583764198))-π/2
    2×atan(0.888635104584147)-π/2
    2×0.726500553651756-π/2
    1.45300110730351-1.57079632675     		φ = -0.11779522
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10618023} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.083679°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.11779522 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.749169°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67751 KachelY 67999 0.10618023 -0.11779522 6.083679 -6.749169
    Oben rechts KachelX + 1 67752 KachelY 67999 0.10622817 -0.11779522 6.086426 -6.749169
    Unten links KachelX 67751 KachelY + 1 68000 0.10618023 -0.11784282 6.083679 -6.751896
    Unten rechts KachelX + 1 67752 KachelY + 1 68000 0.10622817 -0.11784282 6.086426 -6.751896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.11779522--0.11784282) × R
    4.75999999999949e-05 × 6371000     		dl = 303.259599999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.11779522--0.11784282) × R
    4.75999999999949e-05 × 6371000     		dr = 303.259599999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10618023-0.10622817) × cos(-0.11779522) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.993070161672777 × 6371000     		do = 303.309189000804m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10618023-0.10622817) × cos(-0.11784282) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.99306456645326 × 6371000     		du = 303.307480076743m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.11779522)-sin(-0.11784282))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993070161672777-0.99306456645326)×R²
    abs(0.10622817-0.10618023)×5.59521951659647e-06×R²
    4.79399999999963e-05×5.59521951659647e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×5.59521951659647e-06×40589641000000     		ar = 91981.1642262669m²