Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67749 / 68006
↖ ↑ ↗
← S  6.768262°
E  6.078186°		 ← 303.30 m → S  6.768262°
E  6.080933°		 →
↑
303.26 m
↓
↑
303.26 m
↓
S  6.770989°
E  6.078186°		 ← 303.30 m →
91 978 m²		 S  6.770989°
E  6.080933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67749 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68006 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516887664794922 y=0.518848419189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516887664794922 × 217)
    floor (0.516887664794922 × 131072)
    floor (67749.5)     		tx = 67749
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.518848419189453 × 217)
    floor (0.518848419189453 × 131072)
    floor (68006.5)     		ty = 68006
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67749 / 68006 ti = "17/67749/68006"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67749/68006.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67749 ÷ 217
    67749 ÷ 131072     		x = 0.516883850097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68006 ÷ 217
    68006 ÷ 131072     		y = 0.518844604492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516883850097656 × 2 - 1) × π
    0.0337677001953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10608436
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.518844604492188 × 2 - 1) × π
    -0.037689208984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.118404142061539
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10608436} λ = 0.10608436}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.118404142061539))-π/2
    2×atan(0.888336965725778)-π/2
    2×0.726333940473819-π/2
    1.45266788094764-1.57079632675     		φ = -0.11812845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10608436} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.078186°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.11812845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.768262°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67749 KachelY 68006 0.10608436 -0.11812845 6.078186 -6.768262
    Oben rechts KachelX + 1 67750 KachelY 68006 0.10613230 -0.11812845 6.080933 -6.768262
    Unten links KachelX 67749 KachelY + 1 68007 0.10608436 -0.11817605 6.078186 -6.770989
    Unten rechts KachelX + 1 67750 KachelY + 1 68007 0.10613230 -0.11817605 6.080933 -6.770989
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.11812845--0.11817605) × R
    4.76000000000087e-05 × 6371000     		dl = 303.259600000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.11812845--0.11817605) × R
    4.76000000000087e-05 × 6371000     		dr = 303.259600000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10608436-0.10613230) × cos(-0.11812845) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.993030944350022 × 6371000     		do = 303.297211020981m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10608436-0.10613230) × cos(-0.11817605) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.993025333379033 × 6371000     		du = 303.295497286014m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.11812845)-sin(-0.11817605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993030944350022-0.993025333379033)×R²
    abs(0.10613230-0.10608436)×5.61097098994434e-06×R²
    4.79399999999963e-05×5.61097098994434e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×5.61097098994434e-06×40589641000000     		ar = 91977.5310594532m²