Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67746 / 67998
↖ ↑ ↗
← S  6.746441°
E  6.069946°		 ← 303.31 m → S  6.746441°
E  6.072693°		 →
↑
303.32 m
↓
↑
303.32 m
↓
S  6.749169°
E  6.069946°		 ← 303.31 m →
92 001 m²		 S  6.749169°
E  6.072693°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67746 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 67998 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516864776611328 y=0.518787384033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516864776611328 × 217)
    floor (0.516864776611328 × 131072)
    floor (67746.5)     		tx = 67746
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.518787384033203 × 217)
    floor (0.518787384033203 × 131072)
    floor (67998.5)     		ty = 67998
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67746 / 67998 ti = "17/67746/67998"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67746/67998.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67746 ÷ 217
    67746 ÷ 131072     		x = 0.516860961914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 67998 ÷ 217
    67998 ÷ 131072     		y = 0.518783569335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516860961914062 × 2 - 1) × π
    0.033721923828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10594055
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.518783569335938 × 2 - 1) × π
    -0.037567138671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.118020646864578
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10594055} λ = 0.10594055}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.118020646864578))-π/2
    2×atan(0.888677704016989)-π/2
    2×0.726524356071124-π/2
    1.45304871214225-1.57079632675     		φ = -0.11774761
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10594055} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.069946°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.11774761 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.746441°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67746 KachelY 67998 0.10594055 -0.11774761 6.069946 -6.746441
    Oben rechts KachelX + 1 67747 KachelY 67998 0.10598849 -0.11774761 6.072693 -6.746441
    Unten links KachelX 67746 KachelY + 1 67999 0.10594055 -0.11779522 6.069946 -6.749169
    Unten rechts KachelX + 1 67747 KachelY + 1 67999 0.10598849 -0.11779522 6.072693 -6.749169
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.11774761--0.11779522) × R
    4.76100000000035e-05 × 6371000     		dl = 303.323310000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.11774761--0.11779522) × R
    4.76100000000035e-05 × 6371000     		dr = 303.323310000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10594055-0.10598849) × cos(-0.11774761) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.993075755816992 × 6371000     		do = 303.310897596529m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10594055-0.10598849) × cos(-0.11779522) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.993070161672777 × 6371000     		du = 303.309189000892m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.11774761)-sin(-0.11779522))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993075755816992-0.993070161672777)×R²
    abs(0.10598849-0.10594055)×5.594144215193e-06×R²
    4.79400000000102e-05×5.594144215193e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×5.594144215193e-06×40589641000000     		ar = 92001.0063069942m²