Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67723 / 67724
↖ ↑ ↗
← S  5.998533°
E  6.006775°		 ← 303.75 m → S  5.998533°
E  6.009522°		 →
↑
303.77 m
↓
↑
303.77 m
↓
S  6.001265°
E  6.006775°		 ← 303.75 m →
92 271 m²		 S  6.001265°
E  6.009522°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67723 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 67724 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516689300537109 y=0.516696929931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516689300537109 × 217)
    floor (0.516689300537109 × 131072)
    floor (67723.5)     		tx = 67723
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.516696929931641 × 217)
    floor (0.516696929931641 × 131072)
    floor (67724.5)     		ty = 67724
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67723 / 67724 ti = "17/67723/67724"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67723/67724.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67723 ÷ 217
    67723 ÷ 131072     		x = 0.516685485839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 67724 ÷ 217
    67724 ÷ 131072     		y = 0.516693115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516685485839844 × 2 - 1) × π
    0.0333709716796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10483800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.516693115234375 × 2 - 1) × π
    -0.03338623046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.104885936368683
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10483800} λ = 0.10483800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.104885936368683))-π/2
    2×atan(0.90042722272774)-π/2
    2×0.733051086307862-π/2
    1.46610217261572-1.57079632675     		φ = -0.10469415
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10483800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.006775°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.10469415 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -5.998533°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67723 KachelY 67724 0.10483800 -0.10469415 6.006775 -5.998533
    Oben rechts KachelX + 1 67724 KachelY 67724 0.10488594 -0.10469415 6.009522 -5.998533
    Unten links KachelX 67723 KachelY + 1 67725 0.10483800 -0.10474183 6.006775 -6.001265
    Unten rechts KachelX + 1 67724 KachelY + 1 67725 0.10488594 -0.10474183 6.009522 -6.001265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.10469415--0.10474183) × R
    4.76799999999944e-05 × 6371000     		dl = 303.769279999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.10469415--0.10474183) × R
    4.76799999999944e-05 × 6371000     		dr = 303.769279999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10483800-0.10488594) × cos(-0.10469415) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.994524571506068 × 6371000     		do = 303.7534032004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10483800-0.10488594) × cos(-0.10474183) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.994519587672639 × 6371000     		du = 303.751881009387m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.10469415)-sin(-0.10474183))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.994524571506068-0.994519587672639)×R²
    abs(0.10488594-0.10483800)×4.98383342828479e-06×R²
    4.79399999999963e-05×4.98383342828479e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×4.98383342828479e-06×40589641000000     		ar = 92270.7214077632m²