Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67723 / 67707
↖ ↑ ↗
← S  5.952095°
E  6.006775°		 ← 303.78 m → S  5.952095°
E  6.009522°		 →
↑
303.77 m
↓
↑
303.77 m
↓
S  5.954827°
E  6.006775°		 ← 303.78 m →
92 279 m²		 S  5.954827°
E  6.009522°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67723 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 67707 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516689300537109 y=0.516567230224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516689300537109 × 217)
    floor (0.516689300537109 × 131072)
    floor (67723.5)     		tx = 67723
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.516567230224609 × 217)
    floor (0.516567230224609 × 131072)
    floor (67707.5)     		ty = 67707
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67723 / 67707 ti = "17/67723/67707"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67723/67707.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67723 ÷ 217
    67723 ÷ 131072     		x = 0.516685485839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 67707 ÷ 217
    67707 ÷ 131072     		y = 0.516563415527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516685485839844 × 2 - 1) × π
    0.0333709716796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10483800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.516563415527344 × 2 - 1) × π
    -0.0331268310546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.104071009075142
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10483800} λ = 0.10483800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.104071009075142))-π/2
    2×atan(0.901161304518406)-π/2
    2×0.733456336127795-π/2
    1.46691267225559-1.57079632675     		φ = -0.10388365
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10483800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.006775°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.10388365 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -5.952095°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67723 KachelY 67707 0.10483800 -0.10388365 6.006775 -5.952095
    Oben rechts KachelX + 1 67724 KachelY 67707 0.10488594 -0.10388365 6.009522 -5.952095
    Unten links KachelX 67723 KachelY + 1 67708 0.10483800 -0.10393133 6.006775 -5.954827
    Unten rechts KachelX + 1 67724 KachelY + 1 67708 0.10488594 -0.10393133 6.009522 -5.954827
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.10388365--0.10393133) × R
    4.76800000000083e-05 × 6371000     		dl = 303.769280000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.10388365--0.10393133) × R
    4.76800000000083e-05 × 6371000     		dr = 303.769280000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10483800-0.10488594) × cos(-0.10388365) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.994608944520308 × 6371000     		do = 303.779172890711m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10483800-0.10488594) × cos(-0.10393133) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.99460399912146 × 6371000     		du = 303.777662438608m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.10388365)-sin(-0.10393133))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.994608944520308-0.99460399912146)×R²
    abs(0.10488594-0.10483800)×4.94539884776657e-06×R²
    4.79399999999963e-05×4.94539884776657e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×4.94539884776657e-06×40589641000000     		ar = 92278.551231041m²