Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67718 / 67693
↖ ↑ ↗
← S  5.913849°
E  5.993042°		 ← 303.80 m → S  5.913849°
E  5.995788°		 →
↑
303.77 m
↓
↑
303.77 m
↓
S  5.916580°
E  5.993042°		 ← 303.80 m →
92 285 m²		 S  5.916580°
E  5.995788°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67718 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 67693 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516651153564453 y=0.516460418701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516651153564453 × 217)
    floor (0.516651153564453 × 131072)
    floor (67718.5)     		tx = 67718
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.516460418701172 × 217)
    floor (0.516460418701172 × 131072)
    floor (67693.5)     		ty = 67693
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67718 / 67693 ti = "17/67718/67693"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67718/67693.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67718 ÷ 217
    67718 ÷ 131072     		x = 0.516647338867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 67693 ÷ 217
    67693 ÷ 131072     		y = 0.516456604003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516647338867188 × 2 - 1) × π
    0.033294677734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10459831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.516456604003906 × 2 - 1) × π
    -0.0329132080078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.103399892480461
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10459831} λ = 0.10459831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.103399892480461))-π/2
    2×atan(0.901766291810151)-π/2
    2×0.733790097000323-π/2
    1.46758019400065-1.57079632675     		φ = -0.10321613
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10459831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.993042°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.10321613 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -5.913849°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67718 KachelY 67693 0.10459831 -0.10321613 5.993042 -5.913849
    Oben rechts KachelX + 1 67719 KachelY 67693 0.10464625 -0.10321613 5.995788 -5.913849
    Unten links KachelX 67718 KachelY + 1 67694 0.10459831 -0.10326381 5.993042 -5.916580
    Unten rechts KachelX + 1 67719 KachelY + 1 67694 0.10464625 -0.10326381 5.995788 -5.916580
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.10321613--0.10326381) × R
    4.76799999999944e-05 × 6371000     		dl = 303.769279999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.10321613--0.10326381) × R
    4.76799999999944e-05 × 6371000     		dr = 303.769279999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10459831-0.10464625) × cos(-0.10321613) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.994677942680791 × 6371000     		do = 303.800246704935m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10459831-0.10464625) × cos(-0.10326381) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.994673028938734 × 6371000     		du = 303.798745921631m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.10321613)-sin(-0.10326381))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.994677942680791-0.994673028938734)×R²
    abs(0.10464625-0.10459831)×4.91374205646711e-06×R²
    4.79399999999963e-05×4.91374205646711e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×4.91374205646711e-06×40589641000000     		ar = 92284.9542769175m²