Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67696 / 65906
↖ ↑ ↗
← S  1.016182°
E  5.932617°		 ← 305.38 m → S  1.016182°
E  5.935364°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  1.018928°
E  5.932617°		 ← 305.38 m →
93 251 m²		 S  1.018928°
E  5.935364°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67696 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65906 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516483306884766 y=0.502826690673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516483306884766 × 217)
    floor (0.516483306884766 × 131072)
    floor (67696.5)     		tx = 67696
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.502826690673828 × 217)
    floor (0.502826690673828 × 131072)
    floor (65906.5)     		ty = 65906
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67696 / 65906 ti = "17/67696/65906"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67696/65906.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67696 ÷ 217
    67696 ÷ 131072     		x = 0.5164794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65906 ÷ 217
    65906 ÷ 131072     		y = 0.502822875976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5164794921875 × 2 - 1) × π
    0.032958984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10354370
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.502822875976562 × 2 - 1) × π
    -0.005645751953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0177366528594208
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10354370} λ = 0.10354370}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0177366528594208))-π/2
    2×atan(0.982419715718027)-π/2
    2×0.776530301910614-π/2
    1.55306060382123-1.57079632675     		φ = -0.01773572
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10354370} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.932617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01773572 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.016182°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67696 KachelY 65906 0.10354370 -0.01773572 5.932617 -1.016182
    Oben rechts KachelX + 1 67697 KachelY 65906 0.10359164 -0.01773572 5.935364 -1.016182
    Unten links KachelX 67696 KachelY + 1 65907 0.10354370 -0.01778365 5.932617 -1.018928
    Unten rechts KachelX + 1 67697 KachelY + 1 65907 0.10359164 -0.01778365 5.935364 -1.018928
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01773572--0.01778365) × R
    4.79300000000016e-05 × 6371000     		dl = 305.36203000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01773572--0.01778365) × R
    4.79300000000016e-05 × 6371000     		dr = 305.36203000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10354370-0.10359164) × cos(-0.01773572) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.99984272624072 × 6371000     		do = 305.377704545666m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10354370-0.10359164) × cos(-0.01778365) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999841875063764 × 6371000     		du = 305.377444574314m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01773572)-sin(-0.01778365))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99984272624072-0.999841875063764)×R²
    abs(0.10359164-0.10354370)×8.51176955807276e-07×R²
    4.79399999999963e-05×8.51176955807276e-07×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.51176955807276e-07×40589641000000     		ar = 93250.7161019648m²