Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67683 / 65757
↖ ↑ ↗
← S  0.606983°
E  5.896911°		 ← 305.41 m → S  0.606983°
E  5.899658°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  0.609730°
E  5.896911°		 ← 305.41 m →
93 260 m²		 S  0.609730°
E  5.899658°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67683 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65757 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516384124755859 y=0.501689910888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516384124755859 × 217)
    floor (0.516384124755859 × 131072)
    floor (67683.5)     		tx = 67683
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501689910888672 × 217)
    floor (0.501689910888672 × 131072)
    floor (65757.5)     		ty = 65757
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67683 / 65757 ti = "17/67683/65757"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67683/65757.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67683 ÷ 217
    67683 ÷ 131072     		x = 0.516380310058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65757 ÷ 217
    65757 ÷ 131072     		y = 0.501686096191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516380310058594 × 2 - 1) × π
    0.0327606201171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10292052
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.501686096191406 × 2 - 1) × π
    -0.0033721923828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0105940548160324
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10292052} λ = 0.10292052}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0105940548160324))-π/2
    2×atan(0.989461864537579)-π/2
    2×0.780101235071079-π/2
    1.56020247014216-1.57079632675     		φ = -0.01059386
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10292052} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.896911°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01059386 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.606983°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67683 KachelY 65757 0.10292052 -0.01059386 5.896911 -0.606983
    Oben rechts KachelX + 1 67684 KachelY 65757 0.10296846 -0.01059386 5.899658 -0.606983
    Unten links KachelX 67683 KachelY + 1 65758 0.10292052 -0.01064179 5.896911 -0.609730
    Unten rechts KachelX + 1 67684 KachelY + 1 65758 0.10296846 -0.01064179 5.899658 -0.609730
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01059386--0.01064179) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.362029999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01059386--0.01064179) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.362029999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10292052-0.10296846) × cos(-0.01059386) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999943885589963 × 6371000     		do = 305.408601214766m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10292052-0.10296846) × cos(-0.01064179) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999943376687173 × 6371000     		du = 305.408445782755m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01059386)-sin(-0.01064179))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999943885589963-0.999943376687173)×R²
    abs(0.10296846-0.10292052)×5.08902789908561e-07×R²
    4.79399999999963e-05×5.08902789908561e-07×6371000²
    4.79399999999963e-05×5.08902789908561e-07×40589641000000     		ar = 93260.1667327382m²