Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67682 / 66018
↖ ↑ ↗
← S  1.323735°
E  5.894165°		 ← 305.28 m → S  1.323735°
E  5.896911°		 →
↑
305.30 m
↓
↑
305.30 m
↓
S  1.326480°
E  5.894165°		 ← 305.28 m →
93 202 m²		 S  1.326480°
E  5.896911°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67682 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66018 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516376495361328 y=0.503681182861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516376495361328 × 217)
    floor (0.516376495361328 × 131072)
    floor (67682.5)     		tx = 67682
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503681182861328 × 217)
    floor (0.503681182861328 × 131072)
    floor (66018.5)     		ty = 66018
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67682 / 66018 ti = "17/67682/66018"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67682/66018.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67682 ÷ 217
    67682 ÷ 131072     		x = 0.516372680664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66018 ÷ 217
    66018 ÷ 131072     		y = 0.503677368164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516372680664062 × 2 - 1) × π
    0.032745361328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10287259
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.503677368164062 × 2 - 1) × π
    -0.007354736328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0231055856168671
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10287259} λ = 0.10287259}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0231055856168671))-π/2
    2×atan(0.977159304358314)-π/2
    2×0.773846398396405-π/2
    1.54769279679281-1.57079632675     		φ = -0.02310353
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10287259} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.894165°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02310353 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.323735°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67682 KachelY 66018 0.10287259 -0.02310353 5.894165 -1.323735
    Oben rechts KachelX + 1 67683 KachelY 66018 0.10292052 -0.02310353 5.896911 -1.323735
    Unten links KachelX 67682 KachelY + 1 66019 0.10287259 -0.02315145 5.894165 -1.326480
    Unten rechts KachelX + 1 67683 KachelY + 1 66019 0.10292052 -0.02315145 5.896911 -1.326480
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02310353--0.02315145) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dl = 305.298319999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02310353--0.02315145) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dr = 305.298319999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10287259-0.10292052) × cos(-0.02310353) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999733125321963 × 6371000     		do = 305.280536606569m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10287259-0.10292052) × cos(-0.02315145) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999732017151439 × 6371000     		du = 305.280198213368m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02310353)-sin(-0.02315145))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999733125321963-0.999732017151439)×R²
    abs(0.10292052-0.10287259)×1.10817052467738e-06×R²
    4.79300000000016e-05×1.10817052467738e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.10817052467738e-06×40589641000000     		ar = 93201.5833170817m²