Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67681 / 66015
↖ ↑ ↗
← S  1.315497°
E  5.891418°		 ← 305.35 m → S  1.315497°
E  5.894165°		 →
↑
305.30 m
↓
↑
305.30 m
↓
S  1.318243°
E  5.891418°		 ← 305.34 m →
93 221 m²		 S  1.318243°
E  5.894165°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67681 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66015 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516368865966797 y=0.503658294677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516368865966797 × 217)
    floor (0.516368865966797 × 131072)
    floor (67681.5)     		tx = 67681
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503658294677734 × 217)
    floor (0.503658294677734 × 131072)
    floor (66015.5)     		ty = 66015
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67681 / 66015 ti = "17/67681/66015"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67681/66015.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67681 ÷ 217
    67681 ÷ 131072     		x = 0.516365051269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66015 ÷ 217
    66015 ÷ 131072     		y = 0.503654479980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516365051269531 × 2 - 1) × π
    0.0327301025390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10282465
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.503654479980469 × 2 - 1) × π
    -0.0073089599609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0229617749180069
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10282465} λ = 0.10282465}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0229617749180069))-π/2
    2×atan(0.977299840425824)-π/2
    2×0.773918284675282-π/2
    1.54783656935056-1.57079632675     		φ = -0.02295976
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10282465} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.891418°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02295976 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.315497°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67681 KachelY 66015 0.10282465 -0.02295976 5.891418 -1.315497
    Oben rechts KachelX + 1 67682 KachelY 66015 0.10287259 -0.02295976 5.894165 -1.315497
    Unten links KachelX 67681 KachelY + 1 66016 0.10282465 -0.02300768 5.891418 -1.318243
    Unten rechts KachelX + 1 67682 KachelY + 1 66016 0.10287259 -0.02300768 5.894165 -1.318243
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02295976--0.02300768) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dl = 305.298319999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02295976--0.02300768) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dr = 305.298319999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10282465-0.10287259) × cos(-0.02295976) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999736436288823 × 6371000     		do = 305.345240858453m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10282465-0.10287259) × cos(-0.02300768) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999735335005926 × 6371000     		du = 305.344904498309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02295976)-sin(-0.02300768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999736436288823-0.999735335005926)×R²
    abs(0.10287259-0.10282465)×1.10128289720901e-06×R²
    4.79399999999963e-05×1.10128289720901e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.10128289720901e-06×40589641000000     		ar = 93221.3377268271m²